多角数定理

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多角数定理(たかくすうていり、polygonal number theorem)とは、「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論定理である。m = 3 の場合を三角数定理、m = 4 の場合を四角数定理というが、五角数定理といえば全く別のオイラーの五角数定理を指す。多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化されたが、 三角数については1796年にガウスによって、 四角数については1772年にラグランジュによって、一般には1813年にコーシーによって証明された。

多角数[編集]

k 番目の m 角数とは、次の公式

P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}

で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。

これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。

例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。

精密化[編集]

N = 2m - 1 を表すには Pm(2) + (m - 1)Pm(1) とするより他にないから、m 個未満の m 角数の和では表されない自然数がある。N = 9n + 8 は二個の三角数の和で表されない(法 9 の計算で自明)から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N = 8n + 7 は三個の四角数の和で表されない(法 8 の計算で自明)から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m 個未満の m 角数で表されない自然数は有限個である。m ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 108(m - 2) は m - 1 個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 N\ge\tfrac{4(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}} は四個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 N\ge\tfrac{(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}} は四個の m 角数の和で表される。

証明[編集]

三角数[編集]

三平方和定理により

8N+3=(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2 \,

と表されるから

N=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

四角数[編集]

四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。

五角数以上[編集]

十分大きな N に対してのみ証明する。m ≥ 5, N ≥ 108(m - 2) とすれば

\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}-\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>3.86>\frac{23}{6}

であるから

0<\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}<2d\pm1<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}

となる二個の奇数 2d ± 1 が存在する。 Nb + r (mod m - 2) となるように

b\in\{2d\pm1\},\ r\in\{e\in\mathbb{Z}|0\le{e}\le{m-4}\}

を選び、

a=2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b

とする。a, b は共に奇数であるから、4a - b2 ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、

4a-b^2=x^2+y^2+z'^2 \,

となる三個の奇数 xyz′≥ 0 が存在する。b + x + y - z ≡ 0 (mod 4) となるように z = ± z′の符号を決め、

w_1=\frac{b+x+y-z}{4}
w_2=w_1-\frac{y-z}{2}=\frac{b+x-y+z}{4}
w_3=w_1-\frac{x-z}{2}=\frac{b-x+y+z}{4}
w_4=w_1-\frac{x+y}{2}=\frac{b-x-y-z}{4}

とすれば

w_1+w_2+w_3+w_4=b \,
w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\frac{b^2+x^2+y^2+z^2}{4}=a
\begin{align}N
&=\frac{(m-2)a-(m-4)b}{2}+r\\
&=\frac{(m-2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)-(m-4)(w_1+w_2+w_3+w_4)}{2}+r\\
&=P_m(w_1)+P_m(w_2)+P_m(w_3)+P_m(w_4)+rP_m(1)
\end{align}

となる。ただし

P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}

とする。0 ≤ rm - 4 であるから、wn ≥ 0 であれば N ≥ 108(m - 2) が高々 m 個の m 角数で表されることになる。以下において wn ≥ 0 であることを証明する。

b<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}<2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{8N-8r}{m-2}}=b'\qquad(\Leftarrow{m\ge5,r\le{m-4}})

であるから

\begin{align}b^2-4a&=b^2-4\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\
&=\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-4\left(\frac{m-4}{m-2}\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\
&<\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\
&<\left(b'-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)=0\\
\end{align}

である。同時に

b>\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{6N-6r}{m-2}-3}=b''\qquad(\Leftarrow{m\ge5})

であるから

\begin{align}b^2+2b+4-3a&=b^2+2b+4-3\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\
&=\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+4\\
&>\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3\\
&>\left(b''-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3=0\\
\end{align}

である。4a - b2 = x2 + y2 + z2 を固定して x + y + z が最大となるのは x = y = z のときであるから

x+y+z\le\sqrt{3(4a-b^2)}<\sqrt{4(b^2+2b+4)-3b^2}=b+4
b-x-y-z>-4 \,

w4 は整数であるから

w_4=\frac{b-x-y-z}{4}\ge0

xy ≥ |z| により

{w_1}\ge{w_2}\ge{w_3}\ge{w_4}\ge{0}

である。

平方数と三角数の和[編集]

三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

8N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,
N=\frac{x(x+1)}{2}+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{y-z}{2}\right)^2

となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

4N+1=(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2 \,
N=\frac{(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2-1}{4}=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+\frac{(x-y)(x-y+1)}{2}+z^2

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。

2008年4月23日、孫智偉らは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した[1]

脚注[編集]

  1. ^ プレプリント 2008年6月25日閲覧

関連記事[編集]