合同ゼータ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

合同ゼータ関数(ごうどうぜーたかんすう)とは、有限体上の代数多様体を用いて定義されるゼータ関数の一種である。


Fqをq個の元をもつ有限体、Vをその上の代数多様体とする。NmVFqm有理点の個数(定義方程式の解の個数)とするとき、Fq上のVの合同ゼータ関数は以下のようにu形式的べき級数として定義される。


\mathit{Z} (V,u) = \exp 
\left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)

あるいは同じことだが


(1) \mathit{Z} (V,0) = 1 \,

(2) \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}

が定義に採用されることもある。

数学者のアンドレ・ヴェイユVが完備な非特異代数多様体のときVの合同ゼータ関数はきわめて美しい性質を持つことを予想した(ヴェイユ予想)。この予想はアレクサンドル・グロタンディークによる代数幾何学の書き直しを促し、スキーム論の誕生のきっかけとなった。ヴェイユ予想は最終的にピエール・ルネ・ドリーニュによって完全に解決され、合同ゼータ関数はリーマン予想を満たすことが証明された。


参考文献[編集]