交互階乗

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交互階乗(こうごかいじょう、: alternating factorial)は、自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。

\mathrm{af}(n) = \sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i} i!

af(n)はn番目の交互階乗を表す。例えば3番目の交互階乗は 1! -2! +3! =5 であり、4番目の交互階乗は -1! +2! -3! +4! =19 と計算される。交互階乗は次の漸化式の形で表すこともできる。

\mathrm{af}(n) = n! - \mathrm{af}(n - 1)

ただし af(1)=1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると

1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, …

交互階乗は全て奇数である。またn番目の階乗数とn番目の交互階乗は互いに素である。

Miodrag Zivkovićは1999年素数の交互階乗の個数が有限であることをaf(3612702)が3612703で割り切れることから証明した。つまり n≧3612702 においてaf(n)は全て3612703で割り切れる合成数である。現在af(n)は以下のnの値をとるとき素数もしくは確率的素数となることが知られている。

3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

af(661)が知られている中では最も大きい素数である。

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