リウヴィル数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

リウヴィル数(リウヴィルすう、Liouville number)とは、以下の定義を満たす実数 α のことである:任意の正整数 n に対して、

を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。

例えば、

はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、……)。

有理数 α0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ≥ 1ak + 1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、

はリウヴィル数である。

性質[編集]

上記の性質より、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 鹿野, 健 『解析数論』教育出版、東京、1978年。 
  • リーベンボイム, P. 著、吾郷孝視 訳 『我が数よ、我が友よ 数論への招待』共立出版、東京、2003年。