デデキント環

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デデキントの生誕150周年を記念して1981年に東ドイツで発行された切手。素イデアル分解を表す式が書かれている。

デデキント環(デデキントかん、Dedekind ring)、あるいはデデキント整域(デデキントせいいき、Dedekind domain)とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

定義[編集]

体でない整域 R について、以下の条件は同値である。

デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。

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加群の構造[編集]

デデキント環 R 上の有限生成加群 M の構造は次の様になる[1]。有限生成加群 M に対して、ある零でない整イデアルの列 I1 ⊆ … ⊆ In と階数有限の自由加群 F可逆イデアル I が存在して同型

 M \cong R/I_1 \oplus \dotsb \oplus R/I_n \oplus F \oplus I

が成り立つ。また、このイデアル I, I1, …, In と自由加群 F は有限生成加群 M により同型を除いて一意に定まる。

脚注[編集]

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参考文献[編集]

関連項目[編集]