ルジャンドルの公式

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初等整数論におけるルジャンドルの公式(ルジャンドルのこうしき、: Legendre's formula)は、任意の素数 p に対して階乗 n! を割り切る p最大冪冪指数を与える式である。アドリアン=マリ・ルジャンドルにちなんで名付けられた。ルジャンドルの定理、アルフォンス・ド・ポリニャック英語版に因んでドポリニャクの公式とも呼ばれる。

概要[編集]

任意の素数 p と任意の非負整数 n に対して、νp(n)n を割り切る最大 p-冪の冪指数(すなわち、np-進付値)とすれば、

である。但しここで、床関数である。式の右辺に見かけ上の無限和が現れているけれども、n および p が固定されれば現れる非零項は有限個しかない: 実際、i を十分大きく pi > n なるようにとれば が成り立つ。

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n =6のとき、である。したがってそれぞれの次数よりである。これらは以下のようにルジャンドル式で計算できる。

証明[編集]

n!は1からnまでの積である。n!を割り切るpの次数を調べるために、まずn!の約数であるpの倍数の個数を数える。pの倍数はnまでに個存在する。また、p2の倍数はn!にさらに1個の約数としてpを持たせ、p3以降も同様である。これを全て加えることによって、無限和でを表すことが可能である。

他の形式[編集]

p を底とする p-進展開の観点からルジャンドルの公式を定式化し直すこともできる。np進表記での各桁の合計とすると以下の数式が成り立つ。

例えば、n =6を二進法で表記すると610 =1102であり、である。したがって

同様に、n=6を三進法で表記すると610 =203であり、である。したがって

である。

証明[編集]

np進法で と書ける。したがって、 であり、

応用[編集]

ルジャンドルの公式はクンマーの定理英語版の証明に使われる。特別な場合の一つとして、n が正の整数である場合には、4 で割り切れるための必要十分条件は、n2 の冪でないことである。

これはルジャンドルの公式により p-進指数関数英語版が収束半径 を持つことから導ける。

参考文献[編集]

  • Dickson, Leonard Eugene (2005) [1830], History of the Theory of Numbers, Volume 1: Divisibility and Primality, Dover Publications, p. 263, ISBN 978-0-486-44232-7 
  • Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères 
  • Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, p. 77, ISBN 978-0-8218-8795-0, MR2963308 

外部リンク[編集]