トレミーの定理

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トレミーの定理(トレミーのていり、: Ptolemy's Theorem)とは、に内接する四角形 ABCD において、の長さに関する等式

が成り立つという幾何学定理。トレミーは古代ギリシア天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる[1]

トレミーの定理.jpg

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式: Ptolemy's inequality):

が成り立つという幾何学の定理のことである[2]。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式:

が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する[3]

証明[編集]

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

を得る。また AC について同様にして

となるから、2 式を掛けて

を得る。これを整理すれば、

となる。すなわち、

が示された。

脚注[編集]

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  1. ^ デジタル大辞泉. “プトレマイオスの定理” (日本語). コトバンク. 2019年9月15日閲覧。
  2. ^ 中村文則. “トレミーを散りばめる” (日本語). 数学のいずみ. 2019年9月15日閲覧。
  3. ^ 高木 1996, 3 複素数

参考文献[編集]

  • 高木貞治『復刻版 近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7

関連項目[編集]

外部リンク[編集]