正多角形

幾何学やそれに関係する数学の諸分野における正多角形（せいたかくけい、英: Regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形のことを指す。

正多角形は凸正多角形又は星型正多角形となる。

以下、本記事では「正多角形」を説明の都合上、「正 $n$ 角形」と表するこがある、このとき、 $n$ は $2$ 以上の有理数である。また、正多角形の一辺の長さを $a$ とする。

正 $n$ 角形の $n$ の値を $\infty$ に飛ばしたとき、正 $n$ 角形は、周長・面積が一定の場合は円に、辺長が一定の場合は長さが $\infty$ の直線に近似する。

定義

正多角形とは、多角形の内、等角多角形かつ等辺多角形であるものを指す。

→詳細は「多角形」、「等角多角形」、および「等辺多角形」を参照

ユークリッド幾何学

一般的な特性

以下に表す性質は、凸正多角形や星型正多角形等の全ての正多角形で成り立つ。

図形の対称性

正 $n$ 角形の回転対称群は、ユークリッド平面上の原点中心の回転変換のうち、正 $n$ 角形を自分自身に写す操作全体からなる集合である。この群は、回転角が $\theta ={\frac {2\pi k}{n}}(k\in \mathbb {Z} )$ で表される、位数 $n$ の有限巡回群 $C_{n}$ に同型であり、構造が中心角 ${\frac {2\pi }{n}}$ ラジアンの回転写像 $R_{1}$ を生成元とする単項生成群 $\{R_{1}^{k}\mid k\in \mathbb {Z} \}$ として定義される二次元直交群 $\mathbf {O(2)}$ の離散的な有限部分群として実現される。また、群論的な観点からは、任意の巡回群 $C_{n}$ は剰余群 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ と同型であり、その抽象構造は完全に一致する。

つまり、正 n 角形は、 n の取る値がどのような値でも、常に線対称で対称軸は n 本である。また n 回対称性を持つ。よって、 n の取る値が偶数のときは点対称でもある。

図形の相似性

$n$ の取る値が同一の正多角形同士は全て互いに相似である。

内接円と外接円

正多角形の全ての頂点はその正多角形の外接円の円周上にある。つまり、正多角形は円内接多角形である。また、全ての辺の中点はその正多角形の内接円の円周上にある。つまり、正多角形は円外接多角形である。

内心・外心・重心

正 $n$ 角形の内心・外心・重心の位置は等しい。また、 $n$ の取る値が偶数のとき、最長の対角線同士の交点と一致する。

$n$ が自然数の場合

性質

辺の平行

正 $n$ 角形は、 $n$ の取る値が奇数のとき、どの辺同士も平行ではないが、

$n$ の取る値が偶数のとき、 ${\frac {n}{2}}$ 組の対辺は平行である。

その他

角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

内角の大きさ

内角の大きさを表す公式

正 $n$ 角形の各内角の大きさは

{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}

（度数法）

{\frac {\pi (n-2)}{n}}

（弧度法）

となる。

公式の証明

上記の式が成り立つことを証明する。

証明1

「多角形の外角の和が $360^{\circ }$ である」という外角の和の定理を利用する、正 $n$ 角形は $n$ 個の等しい大きさの外角を持つため、正 $n$ 角形の一つの外角の大きさは ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ 、よって、一つの正 $n$ 角形の内角の大きさは

{\begin{aligned}\ 180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}&={\frac {180^{\circ }n-360^{\circ }}{n}}\\&={\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}\\\end{aligned}}

となる。

証明2

まず、三角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることを示す。

△ $ABC$ において頂点 $A$ を通り、辺 $BC$ と平行な直線 $PQ$ を引く、そして、錯角から $\angle ABC=\angle BAP$ と $\angle ACB=\angle CAQ$ が分かる。これにより、 $\angle BAP+\angle BAC+\angle CAQ=180^{\circ }$ が分かり、 $\angle ABC=\angle BAP$ 、 $\angle ACB=\angle CAQ$ なため、 $\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ }$ と分かる。

正 $n$ 角形は $n-2$ 個の三角形に分割でき、一つの三角形の内角の和は $180^{\circ }$ のため、正 $n$ 角形の内角の和は、 $180^{\circ }(n-2)$ となる、正 $n$ 角形は $n$ 個の等しい大きさの内角を持つため、正 $n$ 角形の一つの内角の大きさは

{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}

となる。

→詳細は「多角形の三角形分割」を参照

面積

面積を表す公式

正 $n$ 角形の面積は

A={na^{2} \over 4}\cot {\pi  \over {n}}

である。

公式の証明

まず、正 $n$ 角形の外心と各頂点を線分で結び、合同な $n$ 個の二等辺三角形に分割する。できた二等辺三角形は、中心角の大きさが ${\frac {2\pi }{n}}$ ラジアンで、底辺の長さが $a$ である。また、高さ $h$ とする。分割した後、正 $n$ 角形の外心から、各辺に向かって垂直二等分線を引く、すると、辺と角が二等分され、合同な $2n$ 個の直角三角形が分割する。できた直角三角形は、中心角の大きさが ${\frac {2\pi }{n}}\div 2={\frac {\pi }{n}}$ ラジアンで、底辺の長さが ${\frac {a}{2}}$ である。三角比の $\tan$ を用いると、 $\tan$ の定義「 $\tan \theta =$ 対辺の長さ/隣辺の長さ」より、 $\theta$ は ${\frac {\pi }{n}}$ ラジアンで対辺の長さは ${\frac {a}{2}}$ 、隣辺の長さは高さ $h$ のため、

\tan {\frac {\pi }{n}}={\frac {\frac {a}{2}}{h}}

という関係式が成り立ちます。ここから、高さ $h$ を求めると、

h={\frac {a}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}

となり、 ${\frac {1}{\tan \theta }}=\cot \theta$ より、

h={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}

となる。そして、三角形の面積公式「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$ 」より、

{na^{2} \over 4}\cot {\pi  \over {n}}

となる。

内接・外接

多角形 $F$ に対して、頂点が $F$ の辺上にあり、なおかつ $F$ の内部にあるとき、多角形は多角形 $F$ に内接するという。また、 $F$ の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形 $F$ に外接するという。

（例）：⬡

ABCDEF

において、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは⬡ABCDEFに内接する図形である。

以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが $a$ である正 $n$ 角形 $F$ において、 $F$ に内接する正 $n$ 角形で、面積が最小であるものの面積 $s$ 、 $F$ に外接する正 $n$ 角形で、面積が最大であるものの面積 $S$ はそれぞれ、

s={na^{2} \over 4}\cot {\pi  \over {n}}\cos ^{2}{\pi  \over {n}}

S={na^{2} \over 2\sin {2\pi  \over {n}}}

と表される^{[疑問点 – ノート]}。

半径が一定の円に内接する正 $n$ 角形は、 $n \to \infty$ とするとその円に近づくので、十分大きい $n$ について「周長÷外接円の直径」を計算すると円周率の近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である」ということである。

対角線の長さ

正 $n$ 角形の対角線の長さの種類は

\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1={\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}

だけある（ $⌊ x ⌋$ はガウス記号）。一辺の長さを $a$ とすると、 $m$ 番目に短い対角線の長さは

{a\sin {(m+1)\pi  \over {n}} \over {\sin {\pi  \over {n}}}}

である。 $m = 0$ のとき辺の長さ、 $m = 1$ のとき最短の対角線の長さを表す。

コンパスと定規を用いて描けるもの

→詳細は「定規とコンパスによる作図」を参照

$p$ を素数とする。正 $p$ 角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数 $p$ がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪）場合のみ作図することが可能である。

例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

作図可能性の比較

正多角形（正四十角形まで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。

正多角形	定規とコンパスによる作図	折紙による作図	ネウシス作図 (Neusis)	備考
正三角形	○	○	○
正方形	○	○	○
正五角形	○	○	○
正六角形	○	○	○
正七角形	×	○	○	ピアポント素数も参照のこと。
正八角形	○	○	○
正九角形	×	○	○
正十角形	○	○	○
正十一角形	×	×	×→○^[1]	折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能^[2]。2重折りで作図可能^[3]。
正十二角形	○	○	○
正十三角形	×	○	○
正十四角形	×	○	○
正十五角形	○	○	○
正十六角形	○	○	○
正十七角形	○	○	○	フェルマー素数も参照のこと。
正十八角形	×	○	○
正十九角形	×	○	○
正二十角形	○	○	○
正二十一角形	×	○	○
正二十二角形	×	×	×→○^[1]
正二十三角形	×	×	×
正二十四角形	○	○	○
正二十五角形	×	×	未解決問題
正二十六角形	×	○	○
正二十七角形	×	○	○
正二十八角形	×	○	○
正二十九角形	×	×	×
正三十角形	○	○	○
正三十一角形	×	×	未解決問題
正三十二角形	○	○	○
正三十三角形	×	×	×→○
正三十四角形	○	○	○
正三十五角形	×	○	○
正三十六角形	×	○	○
正三十七角形	×	○	○
正三十八角形	×	○	○
正三十九角形	×	○	○
正四十角形	○	○	○

正p角形（p は3以上の素数）、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos(2 $π$ /2n+1) は、n次方程式の解として求められる^[4]。

n	2n+1	方程式の次数	方程式の次数（素因数分解）	定規とコンパス作図	折り紙作図
1	正3角形	1次方程式	1次方程式	○	○
2	正5角形	2次方程式	2次方程式	○	○
3	正7角形	3次方程式	3次方程式	×	○
5	正11角形	5次方程式	5次方程式	×	×
6	正13角形	6次方程式	(2×3)次方程式	×	○
8	正17角形	8次方程式	(2×2×2)次方程式	○	○

$n$ が有理数（自然数を除く）の場合

→詳細は「ユークリッド幾何学」を参照

楕円幾何学

→詳細は「楕円幾何学」を参照

最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

→詳細は「双曲幾何学」を参照

最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

脚注

[脚注の使い方]

^ ^a ^b On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass
^ 西村保三、山本一海「折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第3号、福井大学教育地域科学部、2012年、59-66頁、ISSN 2185-369X、NAID 110009552129。
^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213. https://cms.math.ca/crux/v44/n5/.
^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 - YouTube

表話編歴 2から10次元の基本的な凸正および一様多胞体（英語版）
族	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆（英語版） / E₇（英語版） / E₈ / E₉（英語版） / E₁₀（英語版） / F₄（英語版） / G₂（英語版）	H_n（英語版）
正多角形	正三角形	正方形	p 角形	正六角形	正五角形
一様多面体	正四面体	正八面体 • 立方体	半切立方体（英語版）		正十二面体 • 正二十面体
一様4次元多胞体（英語版）	正五胞体	正十六胞体 • 正八胞体	半切正八胞体（英語版）	正二十四胞体	正百二十胞体 • 正六百胞体
一様5次元多胞体（英語版）	5次元単体（英語版）	5次元正軸体（英語版） • 5次元立方体（英語版）	5次元半切立方体（英語版）
一様6次元多胞体（英語版）	6次元単体（英語版）	6次元正軸体（英語版） • 6次元立方体（英語版）	6次元半切立方体（英語版）	1₂₂（英語版） • 2₂₁（英語版）
一様7次元多胞体（英語版）	7次元単体（英語版）	7次元正軸体（英語版） • 7次元立方体（英語版）	7次元半切立方体（英語版）	1₃₂（英語版） • 2₃₁（英語版） • 3₂₁（英語版）
一様8次元多胞体（英語版）	8次元単体（英語版）	8次元正軸体（英語版） • 8次元立方体（英語版）	8次元半切立方体（英語版）	1₄₂（英語版） • 2₄₁（英語版）• 4₂₁（英語版）
一様9次元多胞体（英語版）	9次元単体（英語版）	9次元正軸体（英語版） • 9次元立方体（英語版）	9次元半切立方体（英語版）
一様10次元多胞体（英語版）	10次元単体（英語版）	10次元正軸体（英語版） • 10次元立方体（英語版）	10次元半切立方体（英語版）
一様 n-多胞体	n-単体	n-正軸体 • n-立方体	n-半切立方体（英語版）	1_k2（英語版） • 2_k1（英語版） • k₂₁（英語版）	n-五角多面体（英語版）
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