正八胞体

正八胞体（せいはちほうたい、英: regular 8-cell、オクタコロン〈英語: octachoron〉とも）とは、四次元正多胞体の一つ。8個の立方体からできている。四次元の超立方体である。

四次元（超）立方体（英: 4-cube, 4-hypercube）、超立方体（英: hypercube）、テッセラクト（英: tesseract、テセラクトとも）ともいう。文献によっては4-cubeの逐語訳に近くかつ短い「4-立方体」と呼ぶこともある。「テッセラクト」は、チャールズ・ハワード・ヒントンの造語とされる。

性質

要素の個数と接続関係

胞（3次元要素）：8個。全て立方体。
面：24枚。全て正方形。各面には立方体2個が集まる。
辺：32本。各辺には正方形3枚、立方体3個が集まる。
頂点：16個。各頂点には辺4本、正方形6枚、立方体4個が集まる。
双対：正十六胞体
シュレーフリ記号：{4,3,3}

各次元の要素の個数についての解釈や算出方法はいくつかある。例えば、正八胞体を立方体が第4の方向に適当な距離だけ運動した軌跡――いわば「立方体柱(cubic prism)」――と見ることによる算出は、よく知られている。一般に k 次元要素の個数は $2^{4-k}\cdot {}_{4}\mathrm {C} _{k}$ と表される。

パスカルの三角形の最上段を0行目、パスカルのピラミッド（英語版）の最上段を0段目と数えることにする。正八胞体の胞、面、辺、頂点の数はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の三角形の適当な行の数字の総和に等しい。超立方体の最も長い対角線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の適当な行に並ぶ数字通りのグループに分割される。

また、面、辺、頂点に集まる各次元の図形の数は、それぞれに対応する面図形、辺図形、頂点図形におきかえて数えることができ、それぞれ、線分の端点の数、正三角形の頂点と辺の数、正四面体の頂点と辺と面の数に等しい。それぞれパスカルの三角形の2行目、3行目、4行目の両端以外の項としても現れる。

頂点座標

16個の頂点の座標の取り方の例を挙げる。最も考えやすいのは次のように取ることだろう。

(±1, ±1, ±1, ±1) (複号任意) …… 16個

この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の立方体と同じ形になる。

また、次のように頂点を取ることもできる。

(±2, 0, 0, 0) の全ての置換 …… 8個
(±1, ±1, ±1, ±1) (複号同順) …… 2個
(1, 1, −1, −1) の全ての置換 …… 6個

（2行目と3行目をまとめて、(±1, ±1, ±1, ±1) の複号のうち偶数個が正であるものと言い換えることもできる。）

この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の菱形十二面体と同じ形になる。

その他の性質

正八胞体の内部を無視して境界上の立方体だけを考えるとき、分離しない展開図は261通りある。ただし、3次元空間において鏡像関係にあるものを同一視して数えている。^[1]

正八胞体の2次元以上の要素を無視し、頂点と辺のみをえがく図（骨格グラフ^[2]などと呼ばれる）は、2次元平面にえがくと必ずどこかに辺の交差を生じる。これはクラトフスキーの定理などの例になっている。

立方体の針金をせっけん液に二度浸してシャボン玉を作ると、正八胞体のある種の三次元投影図の形になることが知られている（ただし、このときできる面はわずかに曲がっている）。

ギャラリー

平行投影
平行投影
平行投影
二重回転（英語版）する正八胞体を中心投影したもの
単純回転する正八胞体を中心投影したもの
左の図を平行法で立体的に見る
等角図になるような平行投影。外形は菱形十二面体に一致する。
骨格は、完全グラフ K₅ の細分や完全二部グラフ K_3,3 の細分を含む

脚注

↑ MathWorld, “Tesseract” (Weisstein)
↑ 日比孝之『凸多面体論』共立出版、2022年、99頁。ISBN 978-4-320-11462-3。

外部リンク

Weisstein, Eric W. “Tesseract”. mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. “Tesseract Graph”. mathworld.wolfram.com (英語).
Moritz Firsching. “Unfoldings of the hypercube”. 2026年5月6日閲覧。 - 展開図の一覧
三角四角のしゃぼん玉?
cssでもここまで描ける！チカラワザで作り上げた3D表現5連発｜NEWS｜株式会社INDETAIL（インディテール） - 四次元立方体をHTMLとCSSのみで表現^{[リンク切れ]}

この項目は、多胞体に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

[1] MathWorld, “Tesseract” (Weisstein)

[2] 日比孝之『凸多面体論』共立出版、2022年、99頁。ISBN 978-4-320-11462-3。

[1]

[2]

表話編歴 2から10次元の基本的な凸正および一様多胞体（英語版）
族	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆（英語版） / E₇ / E₈ / E₉（英語版） / E₁₀（英語版） / F₄（英語版） / G₂	H_n（英語版）
正多角形	正三角形	正方形	p 角形	正六角形	正五角形
一様多面体	正四面体	正八面体 • 立方体	半切立方体（英語版）		正十二面体 • 正二十面体
一様4次元多胞体（英語版）	正五胞体	正十六胞体 • 正八胞体	半切正八胞体（英語版）	正二十四胞体	正百二十胞体 • 正六百胞体
一様5次元多胞体（英語版）	5次元単体（英語版）	5次元正軸体（英語版） • 5次元立方体（英語版）	5次元半切立方体（英語版）
一様6次元多胞体（英語版）	6次元単体（英語版）	6次元正軸体（英語版） • 6次元立方体（英語版）	6次元半切立方体（英語版）	1₂₂（英語版） • 2₂₁（英語版）
一様7次元多胞体（英語版）	7次元単体（英語版）	7次元正軸体（英語版） • 7次元立方体（英語版）	7次元半切立方体（英語版）	1₃₂（英語版） • 2₃₁（英語版） • 3₂₁（英語版）
一様8次元多胞体（英語版）	8次元単体（英語版）	8次元正軸体（英語版） • 8次元立方体（英語版）	8次元半切立方体（英語版）	1₄₂（英語版） • 2₄₁（英語版）• 4₂₁（英語版）
一様9次元多胞体（英語版）	9次元単体（英語版）	9次元正軸体（英語版） • 9次元立方体（英語版）	9次元半切立方体（英語版）
一様10次元多胞体（英語版）	10次元単体（英語版）	10次元正軸体（英語版） • 10次元立方体（英語版）	10次元半切立方体（英語版）
一様 n-多胞体	n-単体	n-正軸体 • n-立方体	n-半切立方体（英語版）	1_k2（英語版） • 2_k1（英語版） • k₂₁（英語版）	n-五角多面体（英語版）
トピック：多胞体の族（英語版） • 正多胞体（英語版） • 正多胞体と複合体の一覧（英語版）

性質

要素の個数と接続関係

頂点座標

その他の性質

ギャラリー

脚注

関連項目

外部リンク