正四面体

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正四面体
正四面体
正四面体
種別 正多面体デルタ多面体四面体
面数 4
面形状 正三角形
辺数 6
頂点数 4
頂点形状 3, 3, 3
33
Tetrahedron vertfig.png
シュレーフリ記号 {3, 3}
ワイソフ記号 3 | 2 3
| 2 2 2
対称群 Td
双対多面体 自己双対
特性 凸集合
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正四面体(せいしめんたい、せいよんめんたい、: regular tetrahedron)とは、4枚の合同正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質[編集]

正四面体のペトリー多角形
立方体の中の正四面体(アニメGIF
正四面体の対称性
  • 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。
  • 自らと双対である(自己双対多面体)。
  • 対角線は存在しない。
  • ペトリー多角形正方形である。
  • 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
  • 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
  • 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。

対称性[編集]

対称性は、

  • 中心と頂点を通る直線について3回対称
  • 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称(2回対称)
  • 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量[編集]

辺の長さ とする。

面の面積
表面積
高さ
体積
辺と面のなす角
二面角
中心と頂点を結ぶ直線のなす角
頂点の立体角
外接球(頂点を通る球)の半径
内接球(面と接する球)の半径
中接球(辺と接する球)の半径
傍接球の半径
頂点から傍心(傍接球の中心)までの距離

正四面体から作られる図形[編集]

外部リンク[編集]