正二十面体

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正二十面体

正二十面体(せいにじゅうめんたい、regular icosahedron)は立体の名称の1つ。空間正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

大きさ[編集]

展開図から正二十面体を作る様子

一辺の長さを a とし、黄金比φ (あるいは τ)とすれば、正二十面体の全ての頂点で接する外接球面の半径 ru は以下のようになる。

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\varphi \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} = a\sin\frac{2\pi}{5} \approx 0.9510565163 \cdot a A019881

そして、正二十面体の全ての面で接する内接球面の半径 r_i は以下のようになる。

r_i = \frac{\varphi^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12} \left(3+ \sqrt{5} \right) a \approx 0.7557613141\cdot a A179294

そして、正二十面体の全ての辺の中点で接する中間球面の半径 rm は以下のようになる。

r_m = \frac{a \varphi}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a = a\cos\frac{\pi}{5} \approx 0.80901699\cdot a A019863

性質[編集]

正二十面体サイコロ

関連項目[編集]

外部リンク[編集]