正二十面体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ナビゲーションに移動 検索に移動
正二十面体
正二十面体
正二十面体
種別 正多面体デルタ多面体二十面体
面形状 20枚の正三角形
辺数 30
頂点数 12
頂点形状 35
Icosahedron vertfig.png
シュレーフリ記号 {3, 5}
ワイソフ記号 5 | 2 3
対称群 Ih
双対多面体 正十二面体
特性 凸集合
テンプレートを表示

正二十面体(せいにじゅうめんたい、regular icosahedron)は立体の名称の1つ。空間正三角形20枚で囲んだ凸多面体3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

性質[編集]

正二十面体サイコロ

計量[編集]

面の面積
表面積
体積
最長対角線の長さ
外接球半径
内接球半径

対称性[編集]

完全正二十面体的対象性英語版は(この球面での青緑の大圏コースとして見る)π/5、π/3、π/2の角度で合する15の鏡映平面を有する。それは球面を120の基本領域英語版(黄)に分かつ。6つの5分割折畳軸(英:6 5-fold axes(以下同じ)、青)、10の3分割折畳軸(赤)、15の2分割折畳軸(赤紫)、が有る。正二十面体の頂点は5分割折畳軸上の点に存在する。

正二十面体の回転対称群英語版は5文字の交代群同型である。この非可換単純群は5文字の対称群の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式ガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は根基での解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは一般の五次方程式の解析的解法を導く正二十面体的対称性英語版の理論を利用できる本を書いた。(Klein 1888)詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質英語版を見よ。

(鏡映を含めた)正二十面体の完全な対称群は完全正二十面体群英語版として知られる。そしてこれは回転対称群と正二十面体の中心を通した鏡映によって生成される、サイズ2の群の直積に同型である。

この図形をに持つ立体[編集]

Great dodecahedron.png
大十二面体
Small stellated dodecahedron.png
小星型十二面体
Great icosahedron.png
大二十面体

派生的な立体[編集]

Truncatedicosahedron.jpg
切頂二十面体
t{5, 3}
Icosidodecahedron.jpg
二十・十二面体
r{5, 3} = r{3, 5}
Triakisicosahedron.jpg
三方二十面体
Dual compound 20 max.png
正十二面体と正二十面体による複合多面体

近縁となるジョンソンの立体[編集]

Gyroelongated pentagonal pyramid.png
正五角錐反柱
Elongated pentagonal dipyramid.png
双五角錐柱
Pentagonal dipyramid.png
双五角錐
Gyroelongated square dipyramid.png
双四角錐反柱
Metabidiminished icosahedron.png
二側錐欠損二十面体
Tridiminished icosahedron.png
三側錐欠損二十面体

脚注[編集]

[ヘルプ]

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]