星型正多面体

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星型正多面体(ほしがたせいためんたい)は、ドイツ数学者ヨハネス・ケプラーが最初に発見した、各面が互いに交差するでない正多面体である。ケプラー・ポアンソの立体と呼ばれることもある。これらは正多面体を星型化することによって作ることができる。

すべての面が同一の正多角形で構成されている立体である正多面体は5つしか知られていなかったが、1619年にケプラーは正十二面体正二十面体の辺を星型化することにより、2つの星型正多面体を発見した(小星型十二面体と大星型十二面体)。1809年にポアンソがその双対多面体である大十二面体と大二十面体の2種類を発見した。そして1811年に星型正多面体は全部でこの4種類ですべてということがオーギュスタン=ルイ・コーシーによって証明された。それで、小星型十二面体と大星型十二面体をケプラーの多面体、大十二面体と大二十面体をポアンソの多面体ということもある。

一覧表[編集]

名前 画像 構成面 頂点 頂点形状 シュレーフリの記号 ワイソフ記号 双対   密度
小星型十二面体 SmallStellatedDodecahedron.jpg 星型五角形 12枚 30 12 5/2,5/2,5/2,5/2,5/2 {5/2,5} 5|2 5/2 大十二面体 正二十面体 正十二面体 3
大十二面体 GreatDodecahedron.jpg 正五角形 12枚 30 12 (5,5,5,5,5)/2 {5,5/2} 5/2|5 2 小星型十二面体 正二十面体 正十二面体 3
大星型十二面体 GreatStellatedDodecahedron.jpg 星型五角形 12枚 30 20 5/2,5/2,5/2 {5/2,3} 3|2 5/2 大二十面体 正十二面体 正十二面体 7
大二十面体 GreatIcosahedron.jpg 正三角形 20枚 30 12 (3,3,3,3,3)/2 {3,5/2} 5/2|3 2 大星型十二面体 正二十面体 正二十面体 7

このうち小星型十二面体と大十二面体はオイラーの多面体定理がなりたたない(12-30+12=-6)。

関連項目[編集]