多胞体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索
Graphs of six convex regular 4-polytopes
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}
4-simplex t0.svg
五胞体
Pentatope
4-単体
4-cube t3.svg
十六胞体
Orthoplex
4-正軸体
4-cube t0.svg
八胞体
Tesseract
4-立方体
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
24-cell t0 F4.svg
Octaplex
24胞体
120-cell graph H4.svg
Dodecaplex
120胞体
600-cell graph H4.svg
Tetraplex
600胞体

初等幾何学における四次元超多面体(4-polytope) または多胞体(たほうたい、: polychoron, polycell, polyhedroid)は四次元の超多面体である[1][2]。四次元超多面体は連結かつ閉な図形で、より低次の超多面体図形(頂点多角形多面体英語版)から組み立てられる。各面はちょうど二つの胞に共有される。

多くの胞からなる図形という意味で多胞体とも呼ばれるが、「多胞体」を任意の超多面体を表す polytope の訳語としても用いることがある[注釈 1]ため注意が必要である。以下、誤解の虞が無いならば、断りなく四次元超多面体の意味で多胞体と呼ぶことにする。

多胞体は二次元の多角形および三次元の多面体の四次元における対応物である。

位相的には、多胞体は一様ハニカム英語版に近い関係を持つ。例えば、三次元空間を充填する立方体ハニカム英語版との関係は、三次元立方体が無限正方形平面充填に関係するのと同様である。凸多胞体を「切ったり開いたり」して三次元展開図を作ることができる。

定義[編集]

多胞体は四次元の閉じた図形で、頂点英語版)から組み立てられる。胞は面の三次元版で、それ自身は一つの多面体になっている。多面体の辺がちょうど二つの面と接続されていたことと対応することとして、多胞体の各面はちょど二つの胞に接続する。任意の超多面体がそうであるように、多胞体の要素全体の成す集合を適当に分割して、それ自身多胞体を成す二つ以上の部分集合にすることはできない。その意味で多胞体は素であり、合成的なものではない。

もっともよく知られた多胞体は、テッセラクトとも呼ばれる正八胞体立方体の四次元版)である。

図示法[編集]

Example presentations of a 24-cell
Sectioning Net
24cell section anim.gif Polychoron 24-cell net.png
Projections
Schlegel 2D orthogonal 3D orthogonal
Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cell t0 F4.svg Orthogonal projection envelopes 24-cell.png

多胞体は四次元的な広がりを持つのだから三次元空間内では見ることができない。しかし、それを三次元空間内の情報から視覚的に推察するための図示方法がいくつか存在する。

直交射影
多胞体の様々な対称方向を示すために直交射影は有効に用いられる。それにより頂点–辺グラフは二次元に表示でき、また目に見える射影被覆として立体面が三次元に示される。
投影図
三次元図形を平面の紙に投影するように、四次元図形を三次元に(あるいはさらに二次元に)投影することができる。よくもちられる投影図は、三次元球面英語版上の点から三次元空間への立体射影を用いるシュレーゲル図英語版で、三次元空間内に描かれた辺、面、胞が真っ直ぐに接続される。
断面図
多面体を曲面による切断の断面によって調べるのと同じく、多胞体を三次元「超曲面」で切った断面から明らかにすることができる。つまり、そのような断面の列を組み立てて全体の形を理解するのである。余剰の空間次元を時間的変化で代用して、これら横断面の滑らかなアニメーションを作ることもできる。
展開図
多面体の展開図が多面体の全ての多角形面が辺で繋がれた状態で同じ平面上に描かれるように、多胞体の全ての多面体胞を同じ一つの三次元空間上に面で繋げて描くことで多胞体の展開図が得られる。

位相的特徴付け[編集]

与えられた多胞体の位相はそのベッチ数およびねじれ係数英語版によって決定される[3]

多面体を特徴付ける[4]ために用いられるオイラー標数の値は、そのままでは高次元に対して意味を持たせることはできない(任意の多胞体に対して、その基礎にある位相が何であれ、その値は零である)。このようにオイラー標数が高次元の異なる位相を区別するのに不十分であったことが、より洗練されたベッチ数の発見に繋がった[3]

同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トロイダル多胞体のひねり面を特徴付けるのには不十分であったから、ねじれ係数が用いられるようになった[3]

多胞体の種類[編集]

正多胞体[編集]

四次元における正多胞体とは、3次元空間でいう正多面体に相当する多胞体のことである。定義も正多面体と似ており概要は、

  • 全ての胞が一種類の正多面体でできている。
  • 一つの頂点に集まる正多面体の数が同じである(頂点は合同である)。

である。正多面体をあらわす記号であるシュレーフリ記号を四次元では、構成面の形を p、構成胞の1つの頂点に集まる面の数を q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。

4次元の正多胞体は、6種類存在する。

名前と三次元投影図 構成胞 構成面 頂点 シュレーフリ記号 対応する正多面体
正五胞体
Zm 5cell.png
正四面体 正三角形 10 10 5 {3,3,3} 正四面体
正八胞体
(超立方体)
Zm 4Dcube.png
正六面体 正方形 24 32 16 {4,3,3} 正六面体
正十六胞体
Zm 16cell.png
正四面体 正三角形 32 24 8 {3,3,4} 正八面体
正二十四胞体
Zm 24cell.png
正八面体 正三角形 96 96 24 {3,4,3} (なし)
正百二十胞体
Zm 120cell.png
正十二面体 正五角形 720 1200 600 {5,3,3} 正十二面体
正六百胞体
Zm 600cell.png
正四面体 正三角形 1200 720 120 {3,3,5} 正二十面体

双対関係は、

  • 正八胞体⇔正十六胞体
  • 正百二十胞体⇔正六百胞体

で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。

半正多胞体[編集]

四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は

  • 全ての胞が数種類の正多面体、または半正多面体でできている。
  • 全ての頂点が合同である。

4次元の場合、半正多胞体は全部で58種類ある(正多面体、半正多面体を底胞とする超角柱を含む。ただし角柱を底胞とする超角柱などの無限系列は除く)。その中には、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。四次元における例外的な立体が存在として捩れ二十四胞体大反角柱の2つがある。3次元では一般的と考えられる、捩れ操作による半正多胞体は高次元では一般的ではないのである。

星型正多胞体[編集]

星型正多胞体とは、3次元空間でいう星型正多面体に相当する多胞体のことである。シュレーフリ・ヘスの多胞体とも言う。4次元の星型正多胞体は、10種類存在する。

名前 シュレーフリ記号
Icosahedral 120-cell {3,5,5/2}
Great 120-cell {5,5/2,5}
Grand 120-cell {5,3,5/2}
Small stellated 120-cell {5/2,5,3}
Great grand 120-cell {5,5/2,3}
Great stellated 120-cell {5/2,3,5}
Grand stellated 120-cell {5/2,5,5/2}
Great icosahedral 120-cell {3,5/2,5}
Grand 600-cell {3,3,5/2}
Great grand stellated 120-cell {5/2,3,3}

広く定着している日本語名は現在のところない。

3次元の星型正多面体は4種類、4次元の星型正多胞体は10種類あるが、5次元以上の空間には星型正多胞体は存在しない。

一様多胞体[編集]

一様多胞体とは、3次元でいう一様多面体に相当する多胞体のことである。4次元の一様多胞体は現在、1849種類が確認されている。

準正多胞体[編集]

準正多胞体とは、3次元でいう準正多面体に相当する多胞体のことであり、一様多胞体のうち、辺の形状が合同な立体のことである。4次元の準正多胞体は、凸なものは5種類ある。

角柱・反角柱[編集]

3次元図形を4次元方向に平行移動すれば、そのまま角柱の4次元版が得られる。また4次元以上に現れる図形として双角柱 (duoprism) がある。これは2種類の角柱が4次元空間で絡まりあったような形状をしており、n角柱m個とm角柱n個からなる双角柱を(n - m)角柱と呼ぶ。

双対[編集]

四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものをいう。

関連項目[編集]

[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 「胞」(cell) を余次元 1 の要素を表すために用いる語法では、任意の polytope を多胞体と呼ぶのは自然である

出典[編集]

参考文献[編集]

関連文献[編集]

  • H.S.M. Coxeter:
    • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • J.H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [2]

外部リンク[編集]

2から10次元の基本的な凸および一様多胞体英語版
An Bn I2(p) / Dn E6英語版 / E7英語版 / E8 / E9英語版 / E10英語版 / F4英語版 / G2英語版 Hn英語版
正多角形 三角形 正方形 p 角形 六角形 五角形
一様多面体 四面体 八面体英語版立方体 半切立方体英語版 十二面体二十面体
一様4次元多胞体英語版 五胞体 十六胞体英語版正八胞体 半切正八胞体英語版 24-cell 二十四胞体英語版六百胞体英語版
一様5-多胞体英語版 5-単体英語版 5-正軸体英語版5-立方体英語版 5-半切立方体英語版
一様6-多胞体英語版 6-単体英語版 6-正軸体英語版6-立方体英語版 6-半切立方体英語版 122英語版221英語版
一様7-多胞体英語版 7-単体英語版 7-正軸体英語版7-立方体英語版 7-半切立方体英語版 132英語版231英語版321英語版
一様8-多胞体英語版 8-単体英語版 8-正軸体英語版8-立方体英語版 8-半切立方体英語版 142英語版241英語版421英語版
一様9-多胞体英語版 9-単体英語版 9-正軸体英語版9-立方体英語版 9-半切立方体英語版
一様10-多胞体英語版 10-単体英語版 10-正軸体英語版10-立方体英語版 10-半切立方体英語版
一様 n-多胞体 n-単体 n-正軸体n-立方体 n-半切立方体英語版 1k2英語版2k1英語版k21英語版 n-pentagonal polytope英語版
トピック:多胞体の族英語版正多胞体英語版正多胞体と複合体の一覧英語版