五角形

正五角形

五角形（ごかくけい、ごかっけい、英: pentagon）は、5つの頂点と辺を持つ多角形の総称。

正五角形[編集]

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°（中心角は72°）と一定な五角形である。辺の長さを a とすると

面積: $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$
内接円の半径: $r={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}$
外接円の半径: $R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a$

定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。


(1)	(2)	(3)	(4)

直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。
OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。

正五角形の対角線（五芒星）


紙片の結び目と正五角形

五角形の対角線を繋いだ星形を五芒星（ペンタグラム）という。たとえば長崎市の市章などはペンタグラムとなっている。
細長い紙片、（またはリボンや割り箸袋など）で一重結びの結び目を作ると正五角形が得られる。
アメリカ国防総省を俗にペンタゴンというが、これはワシントンD.C.にある本部庁舎が五角形であることに由来する。
飯塚伊賀七の作った茨城県つくば市谷田部にある五角堂は、五角形をした建築物である^[1]。
ヒトデやウニなど、棘皮動物の体制は五放射相称を基本とする。
$\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ で、これに黄金比を掛けると1/2になる。つまり、2sin18°は黄金比の逆数。
五角数は多角数の一つである。
野球で使用される本塁は、五角形をしている。本塁は正五角形ではなく正方形を元につくられる五角形である。
これも正五角形ではないが、将棋の駒も先の尖った独特の五角形をしている。
正五角形の1つの頂点からの2本の対角線と1辺とでできる三角形は黄金三角形である。