多胞体の面

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正六面体には6枚の面がある
正八胞体には24枚の面がある

多胞体の(めん、face)は、多面体など多胞体部分集合である、頂点で囲まれた多角形

面は2次元要素 (element) である。つまり、0次元の頂点、1次元の辺に対する、2次元での相当物である。

各次元での特徴[編集]

2次元[編集]

多角形には1つの面がある。ただし、これは特に面と呼ばないこともある。

3次元[編集]

多面体では面は表面を構成し、面の面積の合計は表面積である。

n 枚の面で囲まれた多面体を n 面体と呼ぶ。ただし、多角形の辺の数を決めればトポロジーが決まるのに対し、多面体の面の数を決めただけでは一般にはトポロジーは決まらない。たとえば、四角錐三角柱はまったく異なる多面体だがどちらも五面体である。

辺では2面が接し、頂点では3面以上が接する。

4次元以上[編集]

4次元以上の多胞体では、面は表面の一部である。

多面体の辺が面の辺でもあるように、4次元以上の多胞体の面はの面でもある。

辺では3面以上が接する。4次元多胞体では隣り合う2胞が面で接するが、5次元以上では3胞以上が面で接する。

空間充填形の面[編集]

多面体は多角形による2次元球面空間充填形とみなすことができ、面は充填図形(タイル)に相当する。逆に、多角形による平面充填形やその他の2次元空間の充填形は広義の多面体とみなすことができ、タイルは面といえる。

3次元以上の多胞体による空間充填では、充填図形の面が充填形の面となる。

n 次元面[編集]

一般に、N 次元多胞体の n ( 0 < n < N - 1 )次元要素を n 次元面 (n-face) と呼ぶ。凸多胞体に関しては、n 次元支持超平面との積集合とも定義できる。

たとえば、頂点は0次元面、辺は1次元面、通常の面は2次元面となる。各次元の面の固有の名称は次のとおり。

次元 英語 カタカナ 日本語
0 vertex ヴァーテックス 頂点
1 edge エッジ
2 face フェース
3 cell セル
\vdots \vdots
n n-face nフェース n次元面
\vdots \vdots
N − 3 peak ピーク
N − 2 ridge リッジ
N − 1 facet ファセット

多胞体以外の面[編集]

円柱円錐など多面体以外の立体図形でも、日本語では面という言葉を用いるが、これらの面は辺と頂点で囲まれた多角形ではなく、多胞体の面とはいくつかの性質が異なる。英語ではこれらの面はfaceではなく、底面はbase、側面はlateral surfaceと呼ぶ。