正二十四胞体

正二十四胞体（中心投影による図。シュレーゲル図。）

正二十四胞体（ある方向からの2次元への投影）

正二十四胞体（せいにじゅうしほうたい、英: regular icositetrachoron, regular 24-cell）とは、 4次元正多胞体の一つ。24個の正八面体からできている。

正五胞体と同様に自己双対である。標準正多胞体ではない。この図形には、似た性質をもった三次元の正多面体が存在せず、四次元に特有の図形であるといわれる。一方で、正八胞体（四次元超立方体）と正十六胞体の複合体の枠になるなど、三次元の菱形十二面体に似た性質があるといわれる。

単独で空間充填が可能である。

性質

要素の個数と接続関係

• 胞（3次元要素）：24個。各胞は正八面体。
• 面：96枚。各面は正三角形。各面には正八面体2個が集まる。
• 辺：96本。各辺には正三角形3枚、正八面体3個が集まる。
• 頂点：24個。各頂点には辺8本、正三角形12枚、正八面体6個が集まる。
• シュレーフリ記号：{3,4,3}

頂点座標

24個の頂点の座標の取り方の例を挙げる。

胞中心な投影。平行投影に近いが少しパースがかかっている。

• (±1, ±1, 0, 0) (複号任意) の全ての置換 …… 24個

この場合、一辺の長さは${\sqrt {2}}$になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の立方八面体と同じ形になる。

頂点中心な投影。平行投影に近いが少しパースがかかっている。

また、次のように頂点を取ることもできる。

• (±2, 0, 0, 0) の全ての置換 …… 8個
• (±1, ±1, ±1, ±1) (複号任意) …… 16個

この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の菱形十二面体と同じ形になる。

その他の性質

正二十四胞体の外接超球の半径は、一辺の長さに等しい。