周長

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周長(しゅうちょう)は単純閉曲線の始点から終点までの長さであり、ペリメーター (perimeter) の同義語とされることもある。多角形の周長は計算できるが、の周長は円周率無理数であるため式は簡素でも厳密な値を求めることはできず、楕円の周長は初等関数では表すことができないことが知られている。

多角形の周長[編集]

多角形の周長は、各の長さの総和に等しい。特に、一辺が a の正 n 角形の周長は na である。周長の等しい2つの正 n 角形は、互いに合同である。

円の周長[編集]

円の周長 c直径d円周率π とすると

c = πd

と表される。半径r として

c = 2πr

と表される場合も多い。なお、全ての円は互いに相似であるので、周長の等しい2つの円の面積 S は等しい。Sc を用いて

S = rc/2

と表すことができる。

その他の閉曲線の周長[編集]

半径 r、中心角 θラジアン)(0 < θ < 2π) の扇形の周長 l は次の式で表される。

l = + 2r = r(θ + 2)

アステロイド(星芒形)x = acos3 θ, y = asin3 θ の周長は 6a

カージオイド(心臓形)x = a(1 + cos θ)cos θ, y = a(1 + cos θ)sin θ の周長は 8a

フラクタル図形は面積が有限でもその周長は無限である。

楕円 x2/a2 + y2/b2 = 1 の周長lは長軸短軸の長さ (= 2a, 2b) のみで決まるが、正確な周長は第二種完全楕円積分によって求めなければならない。以下に求め方の一例を示す。

l=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} dt=2\pi a\left[ 1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}^2 \right] ,\left( k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)

一般に閉曲線の周長を求めるのに

\oint_C

などの記号を用いて積分を行う。

関連項目[編集]