レムニスケート周率

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レムニスケート周率(レムニスケートしゅうりつ、: lemniscate constant)とは、円周率レムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にガウスが深く研究したとされる。

通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 ϖ(オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形)で表され、実際の数値は、

ϖ = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539)

(小数点以下30桁まで)である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、(の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に)レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示

r である。

なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。

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