レムニスケート周率

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レムニスケート周率(レムニスケートしゅうりつ、lemniscate constant)とは、レムニスケートにおける、いわば円周率。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にガウスが深く研究したとされる。

通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体\varpi\,\!(オメガの小文字(ω)の上に横棒を1本つけたような形)で表され、実際の数値は、2.622057554292119810464839589891...(小数点以下30桁まで)である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、(の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に)レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

\varpi=2\int_{0}^{1} {\mathrm{d}r \over \sqrt{1-r^4}}=\sqrt 2 K\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)

ただし、ここで "r" は、レムニスケートの極座標表示

r^2=\cos 2\theta\,

の "r" である。

なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。

\pi=2\int_{0}^{1} {\mathrm{d}x \over \sqrt{1-x^2}}

参考文献[編集]


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