ノート:正多角形

内接多角形の意味

Stealth21 さんの加筆内容で、「正多角形に内接する正多角形」とは（証明から察するに）「正多角形の辺の中点を頂点とする正多角形」という意味のようですが、そのようなものの面積を考えることに何か意味があるのか、そもそもそれを「内接」というのか、が疑問です。--白駒 2011年3月6日 (日) 08:28 (UTC)

私もまったく同じ疑問を持ちました。たとえば正六角形の頂点を一つおきに結んだ正三角形だって、「正多角形に内接する正多角形」と言えるので、この言葉は意味不明ですね。また、「正多角形の辺の中点を頂点とする正多角形」の面積に何か意味があるのか、という疑問についても同様です。応用面での重要性があるとか、数学的に深い内容に結びついているとかいった、なんらかの特筆性があるのでしょうか。--Loasa 2011年3月7日 (月) 11:25 (UTC)

>白駒さん及びLoasaさん

まず、「外（内）接するとはどういう状態を指すか」について

外接：一つの多角形の各頂点が一つの円の円周に接すること。一つの円の円周が一つの多角形の各辺に一点で接すること。二つの円が互いに外側にあって一点で接すること。一つの多角形の各頂点が他の多角形の各辺に接すること。以上は、球や多面体でもいえる。ただし、多面体では面についていわなければならない。

内接：多角形の各頂点が一つの円の円周上の一点に接すること、一つの円の円周が一つの多角形の各辺の一点に接すること、小円が大円の内側にあって大円の円周上の一点で接していること、一つの多角形の各頂点がその外側にある多角形の各辺と一点で接すること、一つの球がその外側にある多面体の各面と一点で接することなど。

　　（大辞泉より引用）

このように、多角形が内接または外接するというのは、どちらかの多角形の頂点がもう一方の多角形の辺に接することを指します。ですから多角形の辺上に、適当に点をいくつか取ってそれを結んで出来た多角形がもとの図形の内部にあれば、それは内接する多角形といえます。外接多角形についてはもとの多角形の頂点に接するような辺をとればよいので同じようなことがいえます。また、正n角形に対して、別の正多角形が外接するとするならば、それは、正n角形にならざるをえません （ここで言う2つの正n角形は、辺の数の等しい正多角形であるとします。）。たとえば、正5角形に外接する正多角形は何かといえば別の正5角形以外にはないという事です。これは、適当な四角形と適当な円が一つずつあって、四角形の頂点のうち3つしか円周上になければ、その四角形はは、その円に内接していると言えないのと似ています。なぜなら、正n角形に対して、正n＋1角形を外接させようとすれば、必ずどれかの辺が正n角形の頂点と接しないからです。こういうことを踏まえると、外接する正n角形はただ1つに定められます。

次に内接のほうについて説明します。上の定義からしてまず、Loasaさんが仰る、「正六角形の頂点を一つおきに結んだ正三角形」は正6角形に内接する図形ではありません。しかし、「正8角形の辺のうち4つの辺の中点を結んでできる図形」は、内接する図形と考えられます。ですが、私が記事にて、内接する正n角形としたのは、あくまでも、もとの図形と相似である（辺または頂点の数がもとの図形と同じ数である）という前提のもとに記事を書いておりました。ですので、たとえば、正8角形に内接する正多角形はいくつか考えられますが、ここでは「正8角形に対してそれに内接する正8角形」を考えていたものです。誤解を招く表現だったと反省しております。また、相似な2つの正多角形がたがいに内接、外接の関係にあるとき、対称性からして、内接する多角形の頂点は（その図形から見て）外接する正多角形の各々の辺の中点に一致することがわかります。

「内接あるいは外接する正多角形（の面積）を考えることにそもそも意味があるかどうか」について 私もあまり需要はないと自分で思っております。ここまで騒ぎになるとは正直思っておりませんでした。--利用者:Stealth21

「騒ぎ」にしたつもりはないのですが、びっくりされたのでしたら申し訳ありません。「誤解を招く表現」で「あまり需要はない」ことがお分かりでしたら、私からはあまり細かく申し上げることはしません。元からあまり練られていない記事なので、私は戻すつもりもありませんが、大きく手を入れる必要はありそうです。◆「内接する多角形の頂点は外接する正多角形の各々の辺の中点に一致する」は（私が前提条件を分かってないのかもしれませんが）偽であるような気がします。例えば、図はピタゴラスの定理の証明に使われるものですが、正方形が正方形に内外接しているのではありませんか。また、「Loasa さんの例が例になっていない」には納得しかねます。辞書の文章は曖昧に過ぎますので、後で私も文献に当たってみます。--白駒 2011年3月8日 (火) 11:45 (UTC)

「多角形の辺上に、適当に点をいくつか取ってそれを結んで出来た多角形がもとの図形の内部にあれば、それは内接する多角形といえます。」

この定義に従うならば、

「相似な2つの正多角形がたがいに内接、外接の関係にあるとき、対称性からして、内接する多角形の頂点は（その図形から見て）外接する正多角形の各々の辺の中点に一致することがわかります。」

は、大間違いです。正多角形の各辺をt:1-t(0≦t≦1)に内分する点を結んだ図形は元の正多角形と相似でかつ「内接」する正多角形になります。白駒さんがアップした図は正方形の場合ですが、何角形でも同じです。t=0またはt=1の時は元の正多角形に一致し、t=1/2が「外接する正多角形の各々の辺の中点に一致する」場合です。このとき「内接」する正n角形の面積は最小になります(「「内接」する正n角形の面積」に特筆性があるとすれば、この事実くらいでしょう)。つまり同じ正n角形に限っても「内接」する正n角形と「外接」する正n角形は無数にあります。(相似な正n角形でさえあれば「同じ」と言うのであれば「一つ」とは言えますが) --Loasa 2011年3月8日 (火) 14:08 (UTC)

>白駒さん及びLoasaさん 「もとの図形に内(外)接するもとの図形と相似の関係である多角形は無数にある」 について 言われてみればそうですね。こちらも焦って書いていましたので十分な検証ができないまま、その多角形をただ1つに定めることができるという誤った記事を載せてしまっていました。記事のほうもさらに修正しておきます。

このような感じでいかがでしょうか?不備があればその辺を指摘してくださるか修正してください。

ある適当な多角形Fがあって、その多角形Fの辺上に頂点があって、なおかつそれらを結んでできる多角形がもとの多角形Fの内部にあるとき、その多角形は多角形Fに内接するといい、逆に、多角形Fの頂点に接する直線を辺として持ち、Fの外部にあるような多角形は多角形Fに外接するという。 (例)：正6角形ABCDEFがあって、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする三角形PQRは正6角形ABCDEFに内接する図形である。ただし、頂点A,C,Eを結んでできる正三角形は内接するものとはいえない。(図形自体は6角形の内部にあるが、どの辺にも接していないため。)

以上のことを踏まえたうえで、一辺の長さがaである正n角形Fに内接、外接するFに相似である多角形のうち、最も面積の小さいものの面積s,Sはそれぞれ、

$s={na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}\cos ^{2}{\pi \over {n}}$

$S={na^{2} \over 4\sin {2\pi \over {n}}}$

と表される。

--利用者:Stealth21

「辺」ってなんでしょうか？ふと思ったのですが、辺の定義の仕方によっては内接または外接する多角形が大きく変わってしまう事に気付きました。

①辺は多角形の構成要素であって、その端点（すなわち頂点）は辺には含まない。 ②辺は多角形の構成要素であって、その端点も辺の一部である。

①の考え方でいくと上で何回か出てきている正6角形の頂点を1つ置きに結んだ正3角形は、内接しないことになりますが、②の考え方だと、この正三角形は内接するものとして扱われることになります。実際に描いてみると内接すると見たほうが自然な気がするので、私としては②の考え方を支持するつもりです。なので、上で「正6角形の頂点を1つ置きに結んだ正3角形は、内接しない」とした意見は破棄させていただきます。ただ、まだはっきりしないような気がするので記事のほうはとりあえずそのままにしておきます。 --利用者：Stealth21

通常は②でしょう。『家庭の算数・数学百科』ISBN 978-4535785052 では、五角形に四角形が「内接」する図が例示されており、一頂点が共有されています。矢野健太郎『数学小辞典』でも頂点を共有する場合を内接の例示としています。そもそも、円と多角形、円同士の内（外）接にしか触れていない辞典類も多く、多角形同士を扱うことは稀のようです。--白駒 2011年3月14日 (月) 16:24 (UTC)

>白駒さん

了解いたしました。記事も修正いたします。 --利用者：Stealth21