単純多角形

単純多角形（たんじゅんたかくけい、英: Simple_polygon）は、幾何学にて、それ自身と交差せず、穴のない多角形。

直線で交差しない線分または「辺」がペアで結合されて 1 つの閉じたパスを形成するフラットな形状のものをいう。

解説

辺が交差する場合、多角形は単純ではない。「単純」という修飾語は省略されることが多く、上記の定義は一般に多角形を定義するものと理解される。

上記の定義により、以下が保証される。

多角形は、常に測定可能な領域を持つ領域（面積と呼ばれる）を囲む^{[訳語疑問点]}。
多角形を構成する線分 (辺または辺と呼ばれる) は、頂点 (単数形: 頂点) またはあまり形式的ではない「角」と呼ばれる端点でのみ交わる。
正確には2つの角が各頂点で交わる。
角の数は常に頂点の数と同じである。

辺で交わる 2 つの端は、通常、直線 (180°) ではない角度を形成する必要がある。それ以外の場合、同一線上の線分は 1 つの側面の一部と見なされる。

数学者は通常、「多角形」を使用して、囲まれた領域ではなく、線分によって構成される形状のみを参照するが、「多角形」を使用して、有限シーケンスで構成される閉じたパスによって境界付けられた平面図を参照する場合がありる。直線セグメントの（つまり、閉じた多角形チェーンによる）。使用中の定義によれば、この境界は幾何学自体の一部を形成する場合と形成しない場合がある^[1]。

単純な多角形はジョーダン多角形とも呼ばれる。ジョルダン曲線定理を使用して、このような多角形が平面を内側の領域と外側の領域の 2 つの領域に分割することを証明できるからである。平面内の多角形は、位相的に円と等価である場合にのみ単純である。その内部は位相的に円盤に相当する。

弱単純多角形

交差しない線分の集まりが、トポロジー的に円盤と等価な平面の領域の境界を形成する場合、この境界は弱単純多角形と呼ばれる。^[2]左の画像では、ABCDEFGHJKLM は、この定義による弱単純多角形であり、青色が境界となる領域を示している。このタイプの弱単純多角形は、コンピューターグラフィックスやCADで発生する可能性がある^{[訳語疑問点]}。穴のある多角形領域のコンピューター表現として: 各穴に対して「カット」が作成され、それを外部境界に接続する。上の画像を参照すると、ABCM は穴 FGHJ のある平面領域の外部境界である。カットされた ED は、穴と外部を接続し、2 回トラバースされ^{[訳語疑問点]}、結果として得られる弱く単純な幾何学表現になる。

弱く単純な多角形の別のより一般的な定義では、フレシェ距離の下で収束する、同じ組み合わせタイプの単純な多角形のシーケンスの限界である。これは、そのような多角形はセグメントが接触することはできるが、交差することはできないという概念を定式化したものである。ただし、このタイプの弱く単純な幾何学は、領域の境界を形成する必要はありません。その「内部」は空である可能性があるからである。たとえば、上の画像を参照すると、この定義によれば、多角形チェーン ABCBA は弱単純多角形である。これは、多角形 ABCFGHA の「絞り込み」の限界と見なすことができる。

計算問題

計算幾何学では、いくつかの重要な計算タスクに単純な多角形の形式の入力が含まれる。これらの問題のそれぞれにおいて、内部と外部の区別は、問題の定義において重要である。

多角形の点：幾何学テストでは、単純な幾何学Pとクエリポイントqについて、q がPの内部にあるかどうかを判断する。
多角形の面積を計算するための簡単な式が知られている。つまり、多角形の内部の面積である。
幾何学パーティションは、基本単位 (正方形など) のセットであり、重複せず、和集合が幾何学に等しくなりる。多角形分割問題は、ある意味で最小の分割を見つける問題である。たとえば、ユニットの数が最小の分割、または辺の長さの合計が最小の分割である。
- 幾何学パーティションの特殊なケースは、幾何学の三角形分割である。単純な幾何学を三角形に分割する。凸多角形は簡単に三角形化できるが、一般的な単純な多角形を三角形化するのは、多角形の外側に交差するエッジを追加することを避ける必要があるため、より困難である。それにもかかわらず、バーナード・チャゼル（英語版）は1991年に、n個の頂点を持つ単純な多角形は $\Theta (n)$ 時間で三角形分割できることを示しました。これは最適である。閉じた多角形チェーンが単純な多角形を形成するかどうかを決定するために、同じアルゴリズムを使用することもできる。
- もう 1 つの特殊なケースはアートギャラリーの問題である。これは、最小限の数の星型幾何学への分割として同等に再定式化できる。
幾何学のブール演算: 幾何学領域によって定義された点のセットに対するさまざまなブール演算。
単純な多角形の凸包は、点集合の凸包など、他のタイプの入力の凸包よりも効率的に計算される場合がある。
単純な多角形のボロノイ図
単純な幾何学の中心軸/トポロジカルスケルトン/ストレートスケルトン
単純な幾何学のオフセット曲線
単純な多角形のミンコフスキー和

脚注

[脚注の使い方]

^ Grünbaum, Branko (2003), Polytopes, Springer New York, pp. 35–60, ISBN 978-0-387-40409-7 2023年3月25日閲覧。
^ STACS 2007 : 24th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, Aachen, Germany, February 22-24, 2007 : proceedings. Wolfgang Thomas, Pascal Weil. Berlin: Springer. (2007). ISBN 978-3-540-70918-3. OCLC 184984757

参考文献

Grünbaum, B.; Convex Polytopes第 2 版、Springer、2003 年
ドミトレスク、エイドリアン。Tóth、Csaba D.（2007）。「一定の幾何学的膨張を伴う光直交ネットワーク」。トーマス、ヴォルフガング。ヴェイユ、パスカル（編）。STACS 2007: コンピューターサイエンスの理論的側面に関する第24回年次シンポジウム、アーヘン、ドイツ、2007年2月22-24日、議事録（図版）。スプリンガー。p.177。ISBN 978-3540709176.
チャン・シェンチー; ジェフ・エリクソン; チャオ・シュー (2015)。離散アルゴリズムに関する第26回年次 ACM-SIAM シンポジウム (SODA'15) の議事録。ソーダ'15. pp.1655–1670。
comp.graphics.algorithms FAQ には、2D および 3D ポリゴンに関する数学的問題の解決策がリストされている。
ヘインズ、エリック (1994)。「ポイントインポリゴン戦略」 . Heckbert, Paul S. (編)。グラフィックの宝石 IV . 米国カリフォルニア州サンディエゴ: Academic Press Professional, Inc. pp.24–46. ISBN 0-12-336155-9.
Braden, Bart (1986). “The surveyor's area formula”. The College Mathematics Journal 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282. オリジナルの2012-11-07時点におけるアーカイブ。.

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Simple polygon". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Grünbaum, Branko (2003), Polytopes, Springer New York, pp. 35–60, ISBN 978-0-387-40409-7 2023年3月25日閲覧。

[2] STACS 2007 : 24th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, Aachen, Germany, February 22-24, 2007 : proceedings. Wolfgang Thomas, Pascal Weil. Berlin: Springer. (2007). ISBN 978-3-540-70918-3. OCLC 184984757

[1]

[2]