二等辺三角形

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二等辺三角形(にとうへんさんかくけい、: isosceles triangle)は、三角形の一種で、3 本ののうち(少なくとも)2 本の辺の長さが等しい図形である。長さの等しい 2 辺を等辺といい、残りの 1 辺を底辺とよぶ。2 本の等辺が共有する頂点をとくに二等辺三角形の頂点という。頂点における内角を、二等辺三角形の頂角といい、残りの 2 つの内角すなわち底辺の両端の内角を底角とよぶ。二等辺三角形の底角は、互いに等しい大きさを持つ。

二等辺三角形

二等辺三角形の頂点における外角を、頂外角と呼ぶ。頂外角の大きさは、底角の2倍に等しい。また、頂外角の二等分線は、底辺と平行である。 頂角は180°未満の大きさであるが、底角は90°未満の大きさに限られる。二等辺三角形は線対称な図形であり、頂点と底辺の中点を結ぶ中線、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、これらはすべて線対称の対称軸に乗る。二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。

三角形の 3 つの内角のうち(少なくとも)2 つの角が等しいものは、二等辺三角形となる(二等辺三角形の成立条件)。 また、対称軸を持つ三角形は二等辺三角形に限られる。

二等辺三角形のうち、3 本の辺の長さが全て等しい三角形は正三角形という。正三角形は、二等辺三角形の特殊な場合である。正三角形の内角はすべて等しく、その大きさは 60° に等しい。すべての正三角形は、互いに相似である。

頂角が直角である二等辺三角形は直角二等辺三角形とよばれる。直角二等辺三角形の 2 つの底角(2 つの鋭角)は 45°である。すべての直角二等辺三角形は、互いに相似である。

この項では一般的な二等辺三角形について述べる。

同じ大きさの頂角を持つ二等辺三角形は全て互いに相似である。

また、同じ大きさの底角を持つ二等辺三角形は全て互いに相似である。

線分の両側に、これを底辺とする 2 つの二等辺三角形を作って並べると、凧形ができる。とくに、2 つの二等辺三角形が合同である場合、菱形ができる。逆に、菱形や凧形を対角線で2つに分けて、二等辺三角形を作ることができる。特に、正方形を 1 本の対角線で 2 つに分けると、直角二等辺三角形が得られる。

正n角形の重心から各頂点線分を引くとn個の二等辺三角形ができる。

扇形の中心角を限りなく小さくすると二等辺三角形に近づく。

二等辺三角形を対称軸を中心として半回転させると円錐ができる。円錐の投影図のうち、立面図は二等辺三角形である。

角錐のうち底面が正多角形でその重心の真上に頂点のあるものは、二等辺三角形からなる側面を持つ。


関連項目[編集]