十二角形

正十二角形

十二角形（じゅうにかくけい、じゅうにかっけい、dodecagon）は、多角形の一つで、12本の辺と12個の頂点を持つ図形である。内角の和は1800°、対角線の本数は54本である。

正十二角形

正十二角形においては、中心角と外角は30°で、内角は150°となる。一辺の長さが a の正十二角形の面積Sは

$S=3a^{2}\cot {\frac {\pi }{12}}=3a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\simeq 11.1962a^{2}$　となる。

また、一辺ではなく外接円の半径を$n$とする場合、面積は$3n^{2}$となる。

$\cos(2\pi /12)$を有理数と平方根で表すことが可能である。

$\cos {\frac {2\pi }{12}}=\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

正十二角形の作図

正十二角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。（下のアニメーション参照）

正十二角形の作図

正十二角形を用いたもの

オーストラリアの50セント硬貨（50¢ coin）には正十二角形のものが使われている。

正十二角形を用いた平面充填模様の例

正三角形と正十二角形

正方形と正六角形と正十二角形

正三角形と正方形と正十二角形

その他十二角形に関する事項

• アナログの12時間時計は、時間を示す印を正十二角形の頂点に配置しているものが多い。
  • この12時間時計を使うと、日中であれば短針を太陽に向けた時に、12時の位置と短針の中間地点が南という方位の測定ができる。（左記は北半球の場合。北回帰線と南回帰線の間は特に注意が必要）
• ペルーのクスコに有る12角の石（他に、13角の石や14角の石も有る）

12角の石

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Dodecagon". MathWorld (英語).