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直交対角線四角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
直交対角線四角形 (黄色)
正方形に内接する直交対角線四角形。

直交対角線四角形(ちょっこうたいかくせんしかっけい、: Orthodiagonal quadrilateral)とは、対角線直交している四角形である[1]

凧形菱形正方形は直交対角線四角形の特殊なタイプである。

概要

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直交対角線四角形においては、向かい合う辺の長さの2乗の合計はもう一方の向かい合う辺の長さの2乗の合計と等しくなる[2][3]

これは、ピタゴラスの定理からいえることである。これはまた、余弦定理空間ベクトル背理法複素数の使用など、さまざまな方法で証明できる[4]

別の特徴付けによると、凸四角形ABCDの対角線が直交することは、次の式が成り立つことに同値である。ただしPは対角線の交点である。

この等式は、Pの四角形の各辺への射影共円四角形の頂点となることとも同値である[4]

また、凸四角形の対角線が直交することは、そのヴァリニョンの平行四辺形(四角形の辺の中点を結んでできる平行四辺形)が長方形であることに同値である[4]

面積

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直交対角線四角形の面積Kは、対角線pqの長さの積の半分で求められる[5]

逆に、この式で面積を計算できる凸四角形は、対角線が直交している[4]

画像

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脚注

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  1. ^ Berliner Mathematische Gesellschaft (1907) (German). Archiv der Mathematik und Physik. unknown library. B. G. Teubner. https://archive.org/details/archivdermathem31unkngoog 
  2. ^ Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications . Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.
  3. ^ Mitchell, Douglas, W. (2009), “The area of a quadrilateral”, The Mathematical Gazette 93 (July): 306–309 .
  4. ^ a b c d Josefsson, Martin (2012), “Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 12: 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf 
  5. ^ Harries, J. (2002), “Area of a quadrilateral”, The Mathematical Gazette 86 (July): 310–311 

関連項目

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