円に外接する四角形

平面幾何学において、円に外接する四角形^[1]（えんにがいせつするしかくけい、英: circumscribed quadrilateral, circumscribable quadrilateral, circumscribing quadrilateral, circumscriptible quadrilateral^[2]）または円外接四辺形^[3]^[4]、接線四辺形（英: tangential quadrilateral, tangent quadrilateral）はすべての辺が四角形の内側に位置するある円と接している凸四角形である。この円とその中心、半径をそれぞれ内接円、内心、内半径という。円に外接する四角形は円外接多角形の一つである。

英語では inscriptable quadrilateral, inscriptible quadrilateral, inscribable quadrilateral, circumcyclic quadrilateral, co-cyclic quadrilateral などと言われる場合もある^[2]^[5]。しかしこの語は円に内接する四角形を指す場合が多く混同を避けるため、あまり使われない^[2]。

任意の三角形は内接円を持つが四角形ではそうとは限らない。例えば、正方形でない長方形は内接円を持たない。四角形が円に外接する必要十分条件は後述のピトーの定理などがある。

特別な場合

円に外接する四角形の例にひし形、正方形を含む凧形がある。凧形は円に外接する四角形であり、直交対角線四角形でもある^[6]。直角凧形は外接円を持つ。内接円と外接円を持つ四角形は双心四角形と呼ばれ、直角凧形はその一つである。

円に外接する台形は接線台形などと呼ばれる。

特徴づけ

円に外接する四角形の4つの角の二等分線はその内心で交わる。逆に四角形の4つの角の二等分線が共点ならばその四角形は円に外接する^[7]。

ピトーの定理によれば、円に外接する四角形の2組の対辺の長さの和は等しい。またその長さは四角形の半周長である。

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

逆に $a + c = b + d$ ならばその四角形は円に外接する^[2]^:p.65^[7]。

図のように、台形でない凸四角形 $ABCD$ のそれぞれの対辺の交点を $E, F$ とする。四角形 $ABCD$ が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[7]。

\displaystyle BE+BF=DE+DF\quad \mathrm {or} \quad AE-EC=AF-FC

他の、四角形が円に内接する必要十分条件は、 $△ ABC, △ ADC$ の内接円が接することである^[2]^:p.66。

1954年、Iosifescu は凸四角形が円に外接する必要十分条件を、以下の様な、対角線と辺の成す角による表現でまとめた^[8]。

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.

円に外接する四角形（青）とその内接円（破線）と4つの外部で接する円（赤）。赤い円はある2つの辺の延長で接している。

更に、辺長が $a, b, c, d$ である凸四角形が円に外接することは

R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}

と同値である。ここで $R a, R b, R c, R d$ はそれぞれ辺 $a, b, c, d$ とその隣接する辺の延長に接する円の半径である^[9]^:p.72。

さらなる特徴づけには四角形の辺と対角線が成す4つの三角形を用いるものがある。

接点と接線の長さ

円に外接する四角形とその内接円は4点で接する。この4点から成る四角形は接触四角形（contact quadrilateral）とよばれ円に内接する四角形である。

図の様に、4つの接点と対応する各頂点の距離、接線長^[10]（tangent lengths）を $e, f, g, h$ とする。内接円と隣り合う2辺の接点と、その間の頂点の距離は等しい。

それぞれ対辺の対辺を結ぶ線分（図では $k,l$ ）は tangency chords と呼ばれる。これは接触四角形の対角線である。

面積

三角法を用いない公式

円に外接する四角形の面積 $K$ は内半径と半周長を用いて次の様に表される。

\displaystyle K=r\cdot s,

または、

\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}

ただし $p, q$ は2つの対角線の長さとする^[11]。

$e, f, g, h$ を用いれば以下のようになる^[6]。

\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.

$a, b, c, d$ と $e, f, g, h$ を両方用いれば、

K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.

となる^[6]^:p.128。もしこの四角形が円に内接するならば $eg = fh$ が従い、双心四角形の面積公式 ${\sqrt {abcd}}$ となる^[12]。

三角法による公式

辺の長さと、三角法を使う公式には以下の様なものがある^[13]^[14]^[15]^[16]。

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その面積が最大となるのは、外接円をもつ、つまり双心四角形となるときである。四角形が外接円をもつとき、それぞれの対角の和が180°となるためである。また微分幾何学を用いることによっても証明できる^[17]。

四角形の頂点と内心 $I$ の距離を用いたものもある^[15]^:p.19。

K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}

2つの隣接辺と角によって表すこともできる^[11]。

K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

さらに外積を用いた面積公式ような形の公式もある^[11]。

K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,

ここで $θ$ は対角線の成す角である。ただし凧形では $θ$ は90°であるから上の式を使うことはできない。

不等式

上記の公式から円に外接する四角形の面積 $K$ と辺長 $a, b, c, d$ について

K\leq {\sqrt {abcd}}

が成り立つ。等号成立条件は四角形が双心四角形である場合。

T. A. Ivanova (1976)によれば、内半径と半周長について

s\geq 4r

が成り立つ。等号成立条件は四角形が正方形である場合^[18]。この式と $K = rs$ から

K\geq 4r^{2}

が導かれる。

分割

円に外接する四角形の内接円と各辺の接点と内心を結ぶ線分は、四角形を4つの直角凧形に分割する。

円に外接する四角形を面積と周長の等しい2つの多角形に分ける直線は、内心を通る。

内半径

円に外接する四角形 $ABCD$ の内半径は面積 $K$ と辺長 $a, b, c, d$ 、半周長 $s$ を用いて以下のように書ける^[11]。

r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}

円に外接する四角形の各辺長が与えられたとき、その内半径が最大値をとるような四角形は双心四角形である。

接線長 $e, f, g, h$ を用いれば以下の様にも書ける^[12]^:Lemma2^[19]。

\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.

各頂点と内心 $I$ の距離を $u = AI, v = BI, x = CI, y = DI$ と書けば

r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}

となる^[20]。ただし $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)$

$△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ の内半径をそれぞれ $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ とすればさらに

r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}

と変形できる^[21]。ただし $G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}$ .

角の公式

円に外接する四角形 $ABCD$ について、それぞれの頂点の接線長を $e, f, g, h$ とする。四角形の角に対する正弦は次のように計算できる^[6]。

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},

\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},

\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.

対辺上の接点を結ぶ直線 $k,l$ の成す角の正弦は次のように計算できる^[6]。

\sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.

対角線

接線長 $e, f, g, h$ を用いて、対角線の長さ $p = AC, q = BD$ は以下の様に計算できる^[12]^:Lemma3。

\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},

\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.

接点を結ぶ直線

接線長 $e, f, g, h$ を用いて、接触四角形の対角線（Tangency chords）の長さ $k, l$ は次の様に計算できる^[6]。

\displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},

\displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}

ここで四角形の辺の長さ $a, b, c, d$ について $a = e + f, c = g + h, b = f + g, d = h + e$ が成り立つから

{\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.

である^[6]。2つの Tangency chords には以下の様な性質がある。

双心四角形ならば直交する^[6]^:p.124。
凧形ならば長さが等しい^[22]^:p.166。

円に外接する四角形 $ABCD$ について、 $AB, CD$ が $BC, DA$ よりも短ければ、 $AB, CD$ 間の tangency chord は $BC, DA$ 間の tangency chord より長い^[23]^:p.162。

$AB, CD$ と内接円の接点をそれぞれ $W, Y$ 、 $WY, BD$ の交点を $M$ とする。 ${\tfrac {BW}{DY}}$ と ${\tfrac {BM}{DM}}$ は等しい^[24]。

共線点

円に外接する四角形 $ABCD$ の対角線 $AC, BD$ の中点をそれぞれ $M 1, M 2$ 、内心を $I$ 、対辺 $AB, CD$ の交点 $J$ と $BC, DA$ の交点 $K$ を通る線分 $JK$ の中点を $M 3$ とする。この4点 $M 1, M 2, M 3, I$ は共線である^[25]^[7]^:p.42。この線をニュートン線という。

一般に四角形のすべての辺に接する楕円（内接楕円（英語版））の中心は、そのニュートン線上にある^[26]。

また接触四角形のそれぞれの対辺の交点を $L, M$ とすると、 $J, L, K, M$ は共線である^[27]^:Cor.3。

$AB, BC, CD, DA$ と内接円の接点を $T 1, T 2, T 3, T 4$ 、 $T 1, T 2, T 3, T 4$ の等長共役点（ $AT 1 = BN 1$ となる点）をそれぞれ $N 1, N 2, N 3, N 4$ とする。円に外接する四角形のナーゲル点は直線 $N 1 N 3, N 2 N 4$ の交点として定義される。 $N 1 N 3, N 2 N 4$ はどちらも四角形の周長を二等分する。さらに四角形のナーゲル点 $N$ 、質量中心 $G$ 、内心 $I$ は共線で $NG = 2 GI$ が成り立つ。この線はナーゲル線と呼ばれる^[28]。

円に外接する四角形 $ABCD$ の内心を $I$ 、対角線の交点を $P$ 、 $△ AIB, △ BIC, △ CID, △ DIA$ の垂心をそれぞれ $H X, H Y, H Z, H W$ とすると $P, H X, H Y, H Z, H W$ は共線である^[15]^:p.28。

共点と垂線

2つの対角線と2つの tangency chord は共点である^[16]^[15]^:p.11。これは、ブリアンションの定理で2つの点を極限まで近づけた場合を用いて証明できる。円に外接する六角形の頂点2つをそれぞれ別の頂点に極限まで近づけると、近づかれた2点と、他の2点の接線が円に外接する四角形を成し、近づいた点と近づかれた点の接線の交点はその2点と一致して tangency chord となる。同様の操作をすることで、もう一方の tangency chord の共点も証明できる。

対辺 $AB, CD$ の交点 $J$ と $BC, DA$ の交点 $K$ とを結ぶ直線 $JK$ と、対角線の交点 $P$ と内心 $I$ を結ぶ直線 $IP$ は直交する^[27]^:Cor.4。

内心

円に外接する四角形の内心はニュートン線上にある^[29]。

内心 $I$ と円に外接する四角形 $ABCD$ の頂点の距離の比について次の式が成り立つ^[15]^:p.15。

{\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.

この式から、以下の式が満足する^[30]。

AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.

また

IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.

が成り立つ^[15]^:p.16。内心が頂点の重心（幾何中心）となるのは、

IA\cdot IC=IB\cdot ID.

が成立することと同値である^[15]^:p.22。 $AC, BD$ の中点をそれぞれ $M p, M q$ とすると、以下の式が成り立つ^[15]^:p.19^[31]。

{\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}

ただし $e, f, g, h$ はそれぞれ $A, B, C, D$ の接線長である。このことから内心が幾何中心と一致するのは、内心が対角線の中点を繋げた線分の中点であるときである。

円に外接する四角形を四節リンク機構（英語版）とみなすとき、四角形が凸であれば、どのように機構を動かしても、円に外接する状態は変わらない^[32]^[33]。例えば正方形をひし形に変形しても円に外接したままである。ある辺が固定されて四角形が動くとき、その内心は半径が ${\sqrt {abcd}}/s$ の円を描く。ただし、 $a, b, c, d$ はいずれかの四角形の辺長で、 $s$ は半周長。

4つの三角形の特徴づけ

凸四角形 $ABCD$ と対角線の交点 $P$ から重なり合わない三角形 $△ APB, △ BPC, △ CPD, △ DPA$ を作る。四角形が円に外接するときこれらの四角形は多くの特徴を持つ。

$△ APB, △ BPC, △ CPD, △ DPA$ の内半径をそれぞれ $r 1, r 2, r 3, r 4$ とする。チャオとシメオノフは四角形が円に外接することと次の式の成立が同値であることを証明した^[34]。

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.

ただし、この性質は Vaynshtejn が5年早く発表していた^[22]^:p.169^[35]。この問題の解決は、Vasilyev と Senderov の証明した性質が使われた。四角形の辺を底辺としてみたときの、4つの三角形の高さをそれぞれ $h 1, h 2, h 3, h 4$ とする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[8]^[35]。

{\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.

内半径と同様に、傍接円半径についても同じような性質がある。 $△ APB, △ BPC, △ CPD, △ DPA$ の角 $P$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $r a, r b, r c, r d$ とする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である^[2]^:p.70。

{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.

さらにこれらの三角形の外接円の半径をそれぞれ $R 1, R 2, R 3, R 4$ として

R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.

が成り立つことも、四角形が円に外接する必要十分条件となる^[36]^{:pp. 23–24}。

1996年、Vaynshtejn は美しい性質を初めて証明し、いくつかの雑誌やウェブサイトで掲載された^[2]^{:pp. 72–73}。それは、凸四角形が対角線によって4つの三角形に分割されていて、それら三角形の内心が共円ならば、その四角形は円に外接する、というものである。このとき4つの内心から成る四角形は円に内接する直交対角線四角形である^[2]^:p.74。対角線の交点の角内にある傍接円に関しても、同様の性質が成り立ち、4つの傍心の成す四角形は円に内接する四角形となる^[2]^{:p. 73}。

凸四角形 $ABCD$ とその対角線の交点 $P$ について、角 $B$ あるいは角 $D$ 内の $△ APB, △ BPC, △ CPD, △ DPA$ の傍心が共円であることと、四角形が円に外接することは同値である^[2]^{:p. 79}。傍接円半径をそれぞれ $R a, R b, R c, R d$ として、以下の式が成り立つこともまた、四角形が円に外接する必要十分条件となる^[2]^{:p. 80}。

{\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.

さらに次の式が成り立つこともそれらと同値である^[8]。

{\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}

ただし $△(APB)$ でその三角形の面積を表す。

$AP = p 1, BP = p 2, CP = q 1, DP = q 2$ とする。以下の式の成立も、四角形が円に外接する必要十分条件である^[37]。

ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}

または^[2]^{:p. 74}

{\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}

または^[2]^{:p. 77}

{\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.