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正五十七角形
五十七角形(ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon)は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。
正五十七角形[編集]
正五十七角形においては、中心角と外角は6.315…°で、内角は173.684…°となる。一辺の長さが a の正五十七角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {57}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{57}}\simeq 258.28535a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c93911589665cab5e99945df8c350991198707)
- 関係式
以下のように定義すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{57}}+2\cos {\frac {14\pi }{57}}+2\cos {\frac {16\pi }{57}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{57}}+2\cos {\frac {44\pi }{57}}+2\cos {\frac {34\pi }{57}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{57}}+2\cos {\frac {8\pi }{57}}+2\cos {\frac {56\pi }{57}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {22\pi }{57}}+2\cos {\frac {40\pi }{57}}+2\cos {\frac {52\pi }{57}}\\&x_{5}=2\cos {\frac {4\pi }{57}}+2\cos {\frac {28\pi }{57}}+2\cos {\frac {32\pi }{57}}\\&x_{6}=2\cos {\frac {20\pi }{57}}+2\cos {\frac {26\pi }{57}}+2\cos {\frac {46\pi }{57}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b2b403d2c96060e843dcbbeaaaa24112141298)
以下の関係がある。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}+x_{3}+x_{5}={\frac {1+{\sqrt {57}}}{2}}=\alpha \\&x_{2}+x_{4}+x_{6}={\frac {1-{\sqrt {57}}}{2}}=\beta \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77e831e2b6aa545a2aa165a067cb9f2b182e1ea)
さらに、以下のような関係式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b27297e23c06c4ee24936209d0e9f8a69a1b13)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ce374637b4c1b95ee4cf22583930e949b3f5e2)
さらに、以下のような関係式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega \left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920d9f8fbcfc1a402fb44bf8feb92cef09e0b88f)
両辺の立方根を取り、正十九角形の結果等を代入することより
を求めることができる。
正五十七角形の作図[編集]
正五十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正五十七角形は折紙により作図可能である。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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