数学史

ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ

数学の歴史、すなわち数学史について述べる。数学史とは、第一には、数学上の発見の起源についての研究である。過去の数学においてどのような手法が一般的であったかや、どのような記号が使われたかなどは、それほどは重要視されない。

近代においては知識が全世界に拡散したが、それ以前の時代では、数学上の発見についての記録があるのは限られた地域のみである。発見されている古い数学文書として、プリンプトン322(w:en:Plimpton 322)(バビロニア数学、紀元前1,900年頃)、モスクワ数学パピルス(w:en:Moscow Mathematical Papyrus) (エジプト数学、紀元前1,850年頃)、リンド・パピルス(w:en:Rhind Mathematical Papyrus)(エジプト数学、紀元前1,650年頃)、シュルバ・スートラ(w:en:Shulba Sutras)(インドの数学、紀元前800年頃)などがある。これらのテキストはすべてピタゴラスの定理として知られている定理に関係している。この定理は、基礎的な算術と幾何学以外では、最も早く最も広まった数学上の発見と思われる。

エジプトおよびバビロニア数学は、ギリシアとヘレニズムにおいてさらに発展した。ギリシアとヘレニズムの数学は、手法と内容の両方を革新したという点で、非常に重要だと考えられている。これら古代文明で発展した数学は、イスラム数学でさらに大きく発展した。多くのギリシア語とアラビア語の数学の文献が中世のヨーロッパでラテン語に翻訳され、さらに発展した。

古代・中世の数学史に特徴的な点は、大発展の後、しばしば何世紀もの停滞が起きることである。16世紀にイタリアでルネサンスが始まると、数学上の新発見は、他の科学上の発見と相互作用を起こし、進歩し続けることになった。そしてそれは現代まで続いている。

古代の数学

推定紀元前18,000〜20,000年頃のイシャンゴ骨

有史よりはるか古い時代の線画にも、数学の知識や、天体観測を基にした測時法があったことを示すものがある。古生物学者による例では、南アフリカの砂岩洞窟の中に、幾何学的模様で彩られた線刻画が発見され、紀元前70,000年頃のものと推定されている。他にも、アフリカやフランスで発見されている紀元前35,000～20,000年頃の先史時代遺物の中に、時間を表現しようとした形跡がある。

古代、記数法は、女性が月の生理を記録するために必要とされたという証拠がある。28～30のキズがついた石や骨が、複数見つかるという事例がある。また、ハンターたちは、獣の群について考慮する際には、「1」「2」「多数」、さらに「無」や「ゼロ」の概念を使っていた。

イシャンゴ骨といわれる遺物が、ナイル川源流地域(コンゴ民主共和国北東部)で発見されていて、紀元前20,000年頃のものと推測されている。この骨が表現している内容は、最初期の素数列や、古代エジプトのかけ算であると考えられている。紀元前5,000年代、エジプト原始王朝のエジプト人は、幾何学的・空間的デザインの絵画表現を残した。紀元前3,000年代以降のイングランドやスコットランドにおける巨石記念物には、円、楕円、ピタゴラス数、などの数学的概念が織り込まれているとの指摘がある。

古代インド数学で知られている最古の史料は、紀元前3,000～2,600年頃の、北インドおよびパキスタンに位置したインダス文明(ハラッパー文化)にある。ハラッパー文化は十進法を使った重量・距離の計量法を発達させ、驚くほど精密で数学的な比率の寸法をもったレンガを作っていた。また、道は完全な直角をなして敷設されている。かれらが用いたデザインには立方体・樽型・円錐・円柱などを含む幾何学的形態や、同心あるいは交錯する円や三角形などの意匠がある。発見された数学用具には、十進目盛が刻まれ、細かく精細な目盛りのついた正確な定規や、地平座標における角度を40度あるいは360度法ではかるために用いられた貝のコンパス、天球を8ないし12分して計測するための貝製の計測器、航法のために星の位置を計測する計測器などがある。インダス文字はまだ解読されていないため、ハラッパーの文字による数学についてはほとんどわかっていない。考古学的な証拠によれば、この文明は、8を基数とする記数法を使っており、円周率(π)の値を知っていたとの説がある。中国の殷王朝時代(紀元前1,600年頃～1,046年)には、現在も使われる漢数字の初期のものが、亀甲に彫られている[1] [2]。漢数字は十進法を使っており、例えば「123」を（縦書きで）表す場合は以下のようにする。まず「1」を表す数字を書く。次に「100」を表す数字を書く。次に「2」を表す数字を書く。次に「10」を表す数字を書く。そして「3」を表す数字を書く(要するに「一百二十三」と書く)。これは当時もっとも進んだ記数法であり、中国の計算機である算盤での計算を可能にした。算盤が発明された時期は不明だが、西暦190年頃に劉徽により書かれた『九章算術』の注釈の中に記述が存在する。

古代近東（紀元前1,800〜500年頃）

メソポタミア

バビロニア数学は、初期シュメール人からヘレニズム期初期のメソポタミア（現代のイラク）の人々の数学を示す。バビロンが研究場所の中心的役割を果たし、ヘレニズム時代に終えたことからバビロニア数学と呼ばれた。この時点から、バビロニア数学はギリシアおよびエジプト数学と融合し、ヘレニズム数学をもたらした。その後イスラム帝国のもと、イラク／メソポタミア、特にバグダードは再度イスラム数学の研究の重要な中心となった。

文献が散在するエジプト数学と対照的に、バビロニア数学は1,850年以降掘り出された400以上の粘土板で知ることができる。楔形文字で書かれ、粘土板が湿っている間に記され、釜で焼くか日光で熱して硬くする。これらの幾つかは、等級付けの宿題と思われる。

数学が記述された最も古い証拠は、メソポタミア最古の文明を興した古代シュメール人までさかのぼる。シュメール人は、紀元前3,000年から複合的な測定システムを開発した。紀元前2,500年頃以降、シュメール人は粘土板に乗算表を書き、幾何学の学習と除算問題に対処した。バビロニア文字の最古の形跡もまた、この時代にさかのぼる。

復元した粘土板の大部分は紀元前1,800〜1,600年の時代であり、分数、代数、二次および三次方程式、およびピタゴラス数の概念が扱われている（プリンプトン322参照）。粘土板にはまた、乗算表、三角法表および一次と二次方程式の解法が含まれている。バビロニアの粘土板YBC 7289は、2の平方根を小数点第5位まで正確な近似値を出している。

バビロニア数学は、六十進法（60を底とする）位取り記数法を記述していた。ここから、現在1分が60秒、1時間が60分、および円が360度（60×6）の用法が由来している。60には多くの約数があるという事実により、バビロニア数学の進歩が促進された。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学と異なり、バビロニア数学は正しい位取り記数法を持ち、左の列に書かれる数字が、十進法より大きな値を示す、しかしながら、小数点と同等なものが欠けているため、記号が位置する意味はしばしば文脈から推論しなければならなかった。

エジプト

エジプト数学は、エジプト語で書かれた数学を示す。ヘレニズム時代から、エジプト人学者の記述言語としてギリシア語はエジプト語に代わり、この時点からエジプト数学はギリシアおよびバビロニア数学と融合しヘレニズム数学となった。 エジプトでの数学研究は後に、イスラム帝国のもとイスラム数学の一部として続き、アラビア語がエジプト人学者の記述言語となった。

今まで発見された最古の数学の文書は、エジプト中王国の紀元前2,000〜1,800年のパピルスである、モスクワ数学パピルスである。他の古代数学文書と同様に、今日でいう「単語問題」または「文章問題」からなり、明らかに娯楽を目的としたものであった。ある問題は、切頭体の体積を求めるための解法を得るため特に重要であった。「ピラミッドを切断し、高さ6、底辺4、上辺2である。4を二乗すると16。4を倍にすると8。2を二乗すると4。16と8、および4を加えると28。6の3分の1を得るので2回。28を2回取るので56。結果は56。正しい結果である。」

リンド・パピルス（紀元前1,650年頃[3]）は、もう1つの主要なエジプト数学のテキストであり、整数論と幾何学のマニュアルである。また、乗算、除算、および単位分数の公式の解法に加えて、他の数学知識に関する証明が含まれる（[4]参照）。この証明には合成数と素数、整数論、幾何学、と調和平均、エラトステネスの篩と完全数（すなわち、6）[5]の単純化した理解が含まれている。また、一階線型方程式の解法が示されており[6]、等差数列と幾何級数も同様である[7]。

また、リンド・パピルスでは3つの幾何学の要素で解析幾何学の最も簡単な基礎が示される。(1)何よりもまず、1パーセント未満で正確な円周率の近似値を得る方法 、(2)第2に円積問題への過去の取り組み、 (3)第3に、余接関数の一種の、知られている最古の使用。

最終的に、ペルリン・パピルス（紀元前1,300年頃[8][9]）は、古代エジプト人が二階代数方程式を解決できたことを示している[10]。

古代インド数学（紀元前900年〜西暦200年頃）

詳細は「インドの数学」を参照

ヴェーダ数学は器時代の初期に始まり、シャタパタ・ブラーフマナ（紀元前9世紀頃）で円周率を小数点第2まで概算していた[11]。シュルバ・スートラ（紀元前800〜500年頃）は幾何学テキストであり、無理数、素数、帰一算、立方根を使用し、2の平方根を小数点第5位まで計算し、円積問題の方法論を与え、線型方程式と二次方程式を解き、ピタゴラス数を代数で展開させてピタゴラスの定理の記述と演算による証明をしている。

パニーニ（紀元前5世紀頃）はサンスクリットの文法規則を定式化した。パニーニの記法は、現在の数学的表記と同様であり、メタ規則、変換および再帰は洗練され、その文法規則はチューリングマシンと同等の計算能力を持っていた。ピンガラ (Pingala) （およそ紀元前3〜1年）は、韻律の論文で二進法に類似する仕組みを使用した。彼の拍子組合わせ論は、二項定理に類似する。ピンガラの作品はまた、フィボナッチ数の基本的概念（mātrāmeru と呼ばれた）を含む。ブラーフミー文字は、少なくとも紀元前4世紀のマウリヤ朝以降に発達し、最近の考古学の証拠で紀元前600年に時代が戻された。ブラーフミー数字 (Brahmi numeral) は紀元前3世紀である。

紀元前400年から西暦200年の間、ジャイナの数学者は数学の唯一の目的のために研究を始めた。彼らは最初に超越数、集合論、対数、および添字、三次方程式、四次方程式、列と数列、順列と組合わせ、二乗と平方根導出、有限および無限冪乗について、基本法則を発展させた。紀元前200年から西暦200年の間に書かれたバクシャーリー写本には、最大5つの未知数を含む線型方程式の解、二次方程式の解、算術数列および幾何数列、複数の数列、二次不定方程式、連立方程式、および0と負の数が記述された。無理数の正確な計算が発見でき、100万から少なくとも小数点11位の平方根の計算が含まれている。

ギリシアおよびヘレニズム数学（紀元前550年〜西暦300年頃）

ファイル:Pythagoras von Samos.png

サモスのピタゴラス

ギリシア数学は紀元前6世紀頃から西暦450年の間にギリシア語で書かれた数学を示す。ギリシア人数学者は東地中海全体、イタリアから北アフリカに広がる都市に住んでいたが、これらの地域は文化と言語で結びつけられていた。ギリシアの数学は、ヘレニズム数学とも呼ばれる。

ミレトスのタレス

ギリシア数学は、以前の文化で発達した数学に比べて遥かに洗練されたものであった。ギリシア以前の数学は、すべて帰納的推論を示している。すなわち、繰り返した観測で経験則を証明した。ギリシア数学は、対照的に、演繹法を使用した。ギリシア人は、定義および原理から結論を得る論理を使用した 。

ギリシア数学はタレス（紀元前624〜546年頃）とピタゴラス（紀元前582〜507年頃）が始めたと考えられる。影響範囲について異論はあるものの、彼らはエジプト、メソポタミア、および恐らくインドの知識に影響を受けた。伝説では、ピタゴラスはエジプトに旅行し、数学、幾何学、および天文学をエジプトの指導者から学んだと言われている。

タレスは、幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸から船までの距離を計算する等の問題を解決した。ピタゴラスはピタゴラスの定理について、その主張には長い歴史があるものの、定理の最初の証明との名声をもつ。エウクレイデス（ユークリッド）によるピタゴラスの論評において、プロクロスはピタゴラスが彼の名を冠する定理を述べ、幾何学的でなく代数学的にピタゴラス数を構成したと述べている。アカデメイアは、「幾何学に精通しない者はここに入るべからず」とのモットーを持っていた。

ピタゴラス学派は無理数の存在を発見した。エウドクソス（紀元前408〜355年頃）は、現在の積分法の先駆である、取り尽くし法を開発した。アリストテレス（紀元前384〜233年頃）は最初に論理学の法を書いた。エウクレイデスは今日の数学でも使用される形式である、定義、原理、定理、証明の最も初期の例である。彼はまた円錐曲線の研究も行った。彼の本、『ユークリッド原論』は、20世紀の中頃まで、西洋で教育を受けたものすべてに知られていた。ピタゴラスの定理などの幾何学のよく知られた定理に加えて、『ユークリッド原論』には2の平方根が無理数であることや素数が無限に存在することの証明が記述されている。素数の発見にはエラトステネスの篩（紀元前230年頃）が使用された。

ギリシア数学の、あるいは全時代の最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス（紀元前787〜212年）であると言われている。プルタルコスによると、75歳のとき、地面に数式を書いている最中にローマの軍人に槍で刺されたとされている。古代ローマは純粋数学への関心の証拠をほとんど残していない。

古代中国数学（紀元前500年〜西暦1,300年頃）

『九章算術』

紀元前212年の中国では、秦の始皇帝は秦国外の書物をすべて燃やすことを命じた。この命令にすべて従うことは無かったが、結果として古代中国数学に関しては僅かしか知られていない。

周（紀元前1046年〜）以降、焚書に残存した最古の数学書は『易経』であり、哲学、数学、および神秘的目的で、8種3組（三重）および64種6組（六重）が使用される。各組は分割した、または切れ目の無い直線で構成され、それぞれ陰「女性」陽「男性」と呼ばれる。（六十四卦参照）

中国の幾何学の現存する最も古い書物は、紀元前330年頃の墨家の哲学原理で、墨子（紀元前470〜390年）の後継者により編纂された。『墨経』は、物理化学に関する様々な分野を記述し、数学について僅かながら書き示した。

焚書の後、漢（紀元前202年〜西暦220年）は、現在失われた書物を拡張したと推定される数学書を生み出した。最も重要な書物は『九章算術』であり、全編は西暦179年までに書かれた。しかし、書名のとおり一部はそれ以前から存在した。この数学書は、農業、商業、中国の塔の高さと寸法比を求めるための幾何学の使用、工学、測量に関する246語の問題で構成され、特別な直角三角形および円周率の要素を含んでいる。また、体積におけるカバリエリの定理を、西洋でカバリエリが提案する1,000年以上前に使用していた。ピタゴラスのピタゴラスの定理の数学的証明、およびガウスの消去法の数式を作成した。この文書は西暦3世紀に劉徽 (Liu Hui) により論評された。

更に、漢の天文学者、発明家である張衡（西暦78〜139年） (Zhang Heng) の数学書には円周率の公式化があり、劉徽の計算と異なっていた。張衡は、球体の体積を求めるために円周率の公式を使用した。また、数学者で音楽理論家の京房（紀元前78〜37年）がピタゴラスコンマを使用した文書が書かれた。京房は53の完全五度が31オクターヴにほぼ等しいことを述べた。これは後の53平均律の発見を導き、ドイツのニコラス・メルカトルが17世紀に行うまで、正確に計算されなかった。

張衡（西暦78〜139年）

中国ではまた、魔方陣として知られる複雑な結合図表が古くから述べられ、楊輝 (Yang Hui) （西暦1,238〜1,398年）が完成させた。

南北朝時代の祖沖之（5世紀）は、円周率の値を小数点第7位まで計算した。これは1,000年の間、最も正確な値であった。

漢に続く唐の開始と宋の終わりまでの1,000年間、ヨーロッパの数学が存在しない時代に、中国数学は繁栄した。中国で最初に開発され、後に西洋で多く知られるものに、負の数、二項定理、線型方程式を解決するための行列手法、および中国の剰余定理がある。中国ではまた、ヨーロッパで知られる前に、パスカルの三角形、帰一算が開発された。祖沖之の他に、この時代には中国数学の重要な人物、一行、沈括、秦九韶 (Qin Jiushao) 、朱世傑 (Zhu Shijie) 達がいる。科学者の沈括は、微分積分学、三角法、度量衡学 (Metrology) 、順列に関する問題を使用して、特定の戦闘陣形が使用できる地勢の空間や、兵糧の量に対して継続可能な軍事作戦の期間を計算した。

ヨーロッパの数学がルネサンスの間に栄えた後でさえ、重要な中国数学の成果は衰退するなか、ヨーロッパと中国の数学は個別の流儀であった。後にマテオ・リッチのようなイエズス会宣教師が16世紀から18世紀にかけて2つの文化の間で数学思想を交流させた。

中世インド数学（西暦400〜1,600年頃）

アリヤバータ

『スーリヤ・シッダーンタ』 (Surya Siddhanta) （西暦400年頃）は三角関数、正弦、余弦、逆正弦関数を導入し、天体の実際の動き、空の中での実際の位置を決定する法則の基礎を築いた。この文書では、より古くの文書の写しで、天体時間の周期が述べれ、365.2563627日間の恒星年に対応し、現在の値である365.25636305日間より1.4秒長いだけである。この文書は、中世にアラビア語とラテン語に翻訳された。

アリヤバータは、西暦499年に正矢関数を導入し、正弦の最初の三角法表を作成し、代数学、無限小、微分方程式の解法とアルゴリズムを開発し、現代と同等な手法により線型方程式の解を求め、万有引力の地動説に基づく正確な天文学の計算を行った。彼の著作『アーリヤバティーヤ』(Aryabhatiya)は、アラビア語翻訳が8世紀に、ラテン語の翻訳が13世紀に行われた。彼はまた、円周率の値を小数点第4位の3.1416まで計算した。後の14世紀に、サンガマグラマのマーダヴァ (Madhava of Sangamagrama) は、円周率を小数点第11位の3.14159265359まで計算した。

7世紀に、ブラーマグプタはブラーマグプタの定理 (Brahmagupta theorem) 、ブラーマグプタの二平方恒等式 (Brahmagupta–Fibonacci identity) 、ブラーマグプタの公式を定め、『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』で初めて、明快に0を空位および数字の両方として使用し、インド・アラビア数字を説明した。このインド数学書（西暦770年頃）の翻訳から、イスラム数学者はこの数字体系を導入し、アラビア数字に採用した。イスラム学者はこの数字体系をの知識を12世紀までにヨーロッパに伝え、世界中で旧数字体系を置き換えている。10世紀に、 ピンガラの著書についてのハラユーダ (Halayudha) の論評には、フィボナッチ数、パスカルの三角形の研究が含まれ、行列の計算が記述された。

12世紀に、バースカラ (Bhāskara II) は、導関数、微分係数、微分法の概念と共に、微分学を考えだした。彼はまた、ロルの定理（平均値の定理の特殊な場合）を述べ、ペル方程式を研究し、正弦関数の導関数を調査した。14世紀から、マーダヴァと他のケーララスクールの数学者は、この概念を発展させた。彼らは、解析学と浮動小数点数、微分積分学の基礎から総合的な開発を行った。これには、平均値の定理、限界点の積分、曲線の下の領域とその不定積分または積分、収束判定、非線型方程式を解くための反復法、および無限級数、冪級数、テイラー級数、三角級数が含まれる。16世紀に、Jyesthadevaがケーララスクールの開発と定理の多くを『Yuktibhasa』 (Yuktibhasa) に統合した。これは、世界初の微分学の教科書であり、積分法の概念もまた導入した。インドでの数学の進歩は、16世紀後半の政治的混乱のため停滞した。

イスラム数学（西暦800〜1,500年頃）

詳細は「アラビア数学」を参照

フワーリズミー

イスラム帝国は、中東、中央アジア、北アフリカ、イベリア半島、および8世紀のインドの一部にわたって成立し、数学に重要な貢献を果たした。ほとんどのイスラムの数学書はアラビア語で書かれたが、すべてをアラブ人が書いたのではない。ヘレニズムにおけるギリシア語と同様に、アラビア語は当時のイスラム世界中のアラブ人以外の学者はアラビア語を使用した。重要なイスラム数学者にはペルシア人もいる。

フワーリズミーは、9世紀バグダードのペルシア人数学者で天文学者であり、インド・アラビア数字および方程式の解法に関する重要な本を著した。彼の著作で西暦825年頃に書かれた『インドの数の計算法』は、アラブ人数学者アル＝キンディーと共に作成され、インド数学とインド・アラビア数字を西洋に広める助けとなった。「アルゴリズム」の語は、彼の名のラテン語化、「Algoritmi」に由来し、「代数学（algebra）は彼の著作の名称『ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ』（約分と消約の計算の書）に由来する。フワーリズミーは、古代の代数的手法の保存とこの分野への独自の貢献より、「代数の父」と呼ばれている。代数学の更なる発展は、アル＝カラジ (Al-Karaji) （西暦953〜1,029年）の論文『アル・ファフリー』で、未知数の整数冪乗と整数根を包含する方法論を拡張した。10世紀に、アブル・ウワファはディオファントスの著作をアラビア語に翻訳し、正接関数を進展させた。

数学的帰納法で知られた最初の証明は、西暦1,000年頃のアル＝カラジの著作に現れ、二項定理、パスカルの三角形、積分立方数合計の証明に使われた。 数学歴史家のF. Woepckeは、アル＝カラジを「最初に代数的な微分積分学の理論を導入した者」として賞賛した。イブン・アル＝ハイサムは、二重平方数の和の公式を推論した最初の数学者であり、帰納法を使用して、任意の整数の冪乗の和に対する一般公式を決定する方法を開発し、それが積分法の発展の基礎となった。

ウマル・ハイヤームは12世紀の詩人、数学者で、『Discussions of the Difficulties in Euclid』でユークリッド原論の不備、特に平行線公理について述べ、その結果、解析幾何学および非ユークリッド幾何学の基礎を築いた。また、三次関数の一般的な幾何学的な解法を考案した。彼はまた、歴法の改正に非常に大きな影響をあたえた。13世紀のペルシア人数学者、ナスィールッディーン・トゥースィーは、球面三角法を進展させた。彼はまた、エウクレイデスの平行線公理に関する有力な書を著した。15世紀にアル＝カーシー (Jamshīd al-Kāshī) は、円周率を小数点16桁まで計算した。カーシーはまた、n乗根を計算するアルゴリズムを持ち、それは数世紀後のパオロ・ルフィニおよびホーナーによる手法の特殊な例であった。他の特筆すべきイスラム数学者には、イブン・ヤフヤ・アル＝マグリービー・アル＝サマウアル (Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al) 、 サービト・イブン＝クッラ、アブ・カミル (Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) 、アブー・サフル・アル＝クーヒー (Abū Sahl al-Qūhī) がいる。

この時代のイスラム数学者の成果には、代数学とアルゴリズムの発展（フワーリズミー参照）、球面三角法の発展、アラビア数字への小数点の追加、正弦を除く現在の三角関数のすべての発見、キンディーによる暗号解読と頻度分析の導入、アル＝カラジによる微分積分学の導入と数学的帰納法による証明、イブン・アル＝ハイサムによる解析幾何学と初期の無限小一般公式と積分法の発展、ウマル・ハイヤームによる代数幾何学の開始、ナスィールッディーン・トゥースィーによるユークリッド幾何学の平行線公理への最初の反証、非ユークリッド幾何学の最初の試み、その他代数学、算術、微分積分学、暗号理論、幾何学、数論、および三角法における多大な進歩があった。

オスマン帝国（15世紀〜）の時代に、イスラム数学は停滞した。これは、ローマ人がヘレニズムを征服したときの数学の停滞と類似している。

ジョン・J・オコナーとエドモンド・F・ロバートソンは『マックチューター数学史アーカイブ』で述べた：

「

最近の研究は、我々がイスラム数学に負う負債の新たな画を描いている。16世紀、17世紀、18世紀のヨーロッパの数学者による輝かしい新たな構想であるとこれまで考えられていた概念の多くが今、アラビアおよびイスラム数学者がその4世紀前に開発されていたことが知られた。あらゆる点で、今日研究されている数学は、ヘレニズム数学よりもイスラム数学の様式にはるかに近い。

」

中世ヨーロッパ数学（西暦500〜1,400年頃）

中世ヨーロッパの数学への関心は、現代の数学者と全く異なる関心によるものであった。1つの動機は、数学が自然の法則を理解する鍵を提供するという信念であり、プラトンの『ティマイオス』および聖書の節『知恵の書』11:21にて幾度も正当化された。

中世初期（西暦500〜1,100年頃）

ボエティウスは、算術、幾何学、天文学、音楽を示す用語『四学科』を作り、カリキュラムに数学を加えた。彼は、ニコマコス (Nicomachus) の『算術入門』の意訳で、またギリシア文献に由来する『算術教程（De institutione arithmetica）』、エウクレイデスのユークリッド原論の抄録集を著した。彼の著作は、実用的というよりむしろ理論的であり、ギリシアとイスラムの数学文献の回復まで、数学研究の基礎であった。

ヨーロッパ数学の復活（西暦1,100〜1,400年頃）

12世紀に、ヨーロッパの学者はアラビア語科学文献を求めてスペインとシチリア島に旅行した。これにはチェスターのロバートによりラテン語に翻訳されたフワーリズミーの『ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ』、バースのアデラード (Adelard of Bath) 、カリンツィアのヘルマン (Herman of Carinthia) 、クレモナのジェラルドにより様々な版が翻訳されたエウクレイデスのユークリッド原論の完全な書が含まれる。

これらの新しい文献は数学の復活をもたらした。レオナルド・フィボナッチは1202年著・1254年改訂の『算盤の書』 (Liber Abaci) を著し、エラトステネスの時代から1,000年以上を経て、ヨーロッパの最初の重要な数学をもたらした。この数学書はヨーロッパにインド・アラビア数字を導入し、他の多くの数学問題が議論された。14世紀には、幅広い問題を研究するための新たな数学の観念の発展が見られた。数学の発展に貢献した重要な分野は、軌跡の動きの分析に関するものであった。

トーマス・ブラッドワーディン (Thomas Bradwardine) は、力(F)が抵抗(R)に対して幾何学的比例で増加するように、速度(V)が算術的比率で増加することを主張した。ブラッドワーディンはこれを特定の例の一連で示し、対数はまだ発想されていなかったが、彼の結論を時代錯誤的に次のように表すことができる：V = log (F/R)。ブラッドワーディンの解析はアル＝キンディーとヴィラノバのアーノルド (Arnaldus de Villa Nova) の数学的手法を複合薬の種類を異なる物理的問題に定量化するために移しかえた例である。

14世紀のオックスフォード大学マートン・カレッジの1人、ヘイツベリーのウィリアムは、微分法と極限の概念を欠きながら、ある瞬間の速度を『もし……与えられた瞬間に動く速度が同じ度合いで均一に動くならば、[物体が]描くであろう軌道により』測定することを提案した。

ヘイツベリー達は、均一に動作を加速する物体が移動する距離（現代では積分法で解決できる）を数学的に測定し、『均一に[速度の]増分を加速または減速する物体が、与えられた時間で移動する[距離]は、平均の[速度の]度合いで同じ時間の間継続して動作するものと完全に等しい』と述べた。

パリ大学のニコル・オレームとイタリア人のカサーリのジョバンニはそれぞれ、この関係を図示し、一定の加速を描く線の下の領域が、総移動距離を示すことを主張した。後にエウクレイデスの『原論』の数学的解説書で、オレームはより詳細な全体的分析を行い、物体は各々の継続した増分の時間で奇数として増加する特性の増分を得ることを論証した。エウクレイデスは奇数の和は平方数であることを証明したため、物体の増分で得る特性の総計は時間の二乗で増加する。

近代ヨーロッパ数学（西暦1,400〜1,600年頃）

ルネサンス初期のヨーロッパでは、数学はまだローマ数字を使用した扱いにくい記法に制限され、記号を使用せずに単語で関係を説明していた：プラス記号、等号、未知数を示すxは使われなかった。

16世紀のヨーロッパの数学者は、今日知られているように、他の世界に先例の無い進歩を始めた。その最初は三次関数の一般解法であり、一般に1510年頃のシピオーネ・デル・フェッロ (Scipione del Ferro) の功績とされているが、最初の出版はニュルンベルクのヨハネス・ペトレイアスによるジェロラモ・カルダーノの『偉大なる術』であり、これにはカルダーノの弟子ルドヴィコ・フェラーリによる四次方程式の一般解法も含まれていた。

この時点から、数学の開発は迅速となり、同時代の自然科学における進歩に貢献した。この進歩は印刷の発展に多いに支援された。最初に出版された数学の本は1472年のゲオルグ・プールバッハの『惑星の新理論』であり、商業算術の本である1478年の『トレヴィーゾ算術書』が続き、最初の数学書であるエウクレイデスのユークリッド原論は1482年にラトドルトにより出版された。

航行の要求と広範囲に及ぶ正確な地図の必要性の増加を動機とし、三角法が数学の主要な部門となった。ピティスクス (Bartholomaeus Pitiscus) がこの語を、1595年に出版した『三角法』(Trigonometria)で最初に使用した。レギオモンタヌスの正弦および余弦の表は1533年に出版された。

16世紀末までに、特にレギオモンタヌス（1436年-1476年）とフランソワ・ビエト（1540年-1603年）の貢献により、数学は現在使用される記法と相違の少ないインド・アラビア数字を使用して記述されるようになった。

17世紀

17世紀には、ヨーロッパ全体で数学的および科学的概念の空前の爆発的発展が見られた。イタリア人のガリレオ・ガリレイは、オランダからの輸入をもとにした望遠鏡を使用して、木星の衛星が軌道を描くことを観測した。ティコ・ブラーエは、空中の惑星の位置を記述する膨大な量の数学的データを収集した。彼の助手であるドイツ人のヨハネス・ケプラーはこのデータで研究を始めた。スコットランドのジョン・ネイピアは、計算法によるケプラーの支援を一因とし、最初に自然対数を調査した。ケプラーは、惑星運動の数学的規則を定式化することに成功した。解析幾何学は、フランス人の数学者・哲学者であるルネ・デカルト（1596年-1650年）により開発され、それらの軌道が直交座標系のグラフに記入されることを許容した。多くの数学者の初期の文献を基礎に置き、イングランドのアイザック・ニュートンは、ケプラーの法則を説明する物理法則を発見し、現在の微分積分学として知られる概念を寄せ集めた。これと独立して、ドイツではゴットフリート・ライプニッツが微分積分学および現在でも使用される微分積分の記法のほとんどを開発した。科学と数学は国際的な試みとなり、すぐに全世界に広まった。

数学の天文学の研究への応用に加え、ピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルの交流により、応用数学が新たな領域に拡大を始めた。パスカルとフェルマーはギャンブルのゲームに関する議論で、確率論と対応する組合せ数学の研究の土台を築いた。パスカルは、彼の賭けで、新たに開発した確率論を、成功の確率がわずかであっても報酬が無限であることを根拠に、宗教に捧げられた人生の論証に試みた。ある意味で、これは18世紀から19世紀の効用理論の開発の前兆であった。

18世紀

レオンハルト・オイラー

我々が知るように、自然数の1、2、3、…は存在するどの文書よりも古い一枚岩の構造体に保存されている。最古の文明 — メソポタミア、エジプト、インド、中国 — は、算術を知っていた。

現代数学の様々な数体系の発展を考察する一つの方法は、新しい数について、古い数で行われた演算に関する質問に答えるための研究・調査を知ることである。有史以前に、分数が質問の答えであった：「3を掛けられ、答えが1になる数は?」 インドと中国、はるか遅くにドイツで、負の数が質問の回答として開発された：「大きな数を小さな数から引いたときの答えは?」

その他の自然な質問は：「2の平方根はどんな種類の数か?」 ギリシア人はそれが分数でないことを知っており、この質問は連分数の開発における役割を果たしたともいえる。しかし、よりよい回答はジョン・ネイピア（1550年-1617年）が開発し、後にシモン・ステヴィン (Simon Stevin) が完成した小数の発明でもたらされた。小数、および極限の観念を予期した概念を使用して、ネイピアは新しい定数を研究し、これをレオンハルト・オイラー（1707年-1783年）は e と命名した。

オイラーは、他の数学の用語と記法の標準化に非常に大きな影響を与えた。彼は-1の平方根を i と命名した。彼はまた、円周と直径の比率を表すためにギリシア文字のπを普及させた。彼は次に数学における何よりも顕著な恒等式の1つを引き出した：

$e^{i\pi }+1=0\,$

（オイラーの等式 (Euler's identity) 参照。）

19世紀

3つの幾何学における共通垂線を持つ直線のふるまい

19世紀の間に、数学は更に抽象的になった。最も偉大な数学者の一人は、19世紀のカール・フリードリヒ・ガウス（1777年-1855年）である。科学への多数の貢献を別にして、純粋数学において彼は複素解析の関数、幾何学、および級数の収束について革新的な業績を残した。彼は代数学の基本定理と平方剰余の相互法則に、最初の満足できる証明を与えた。

19世紀には非ユークリッド幾何学の2つの形式が発見された。そこでは、ユークリッド幾何学の平行線公理は成立しない。ロシア人数学者のニコライ・ロバチェフスキーと彼のライバルであるハンガリー人数学者のボーヤイ・ヤーノシュは、独立して双曲幾何学を発見した。そこでは、平行線の唯一性は成立しない。この幾何学では三角形 の内角の和は180度未満である。楕円幾何学は、19世紀後期に、ドイツ人数学者のベルンハルト・リーマンが開発した。ここでは平行線は存在せず、この幾何学では三角形の内角の和は180度を超過する。リーマンはまた、3つの形式の幾何学を統一して膨大に普遍化するリーマン幾何学を開発し、曲線と表面の概念を普遍化した多様体の概念を定義した。19世紀にはまた、ウィリアム・ローワン・ハミルトンが非可換代数を開発した。

数学における新たな傾向に加えて、過去の数学、特にオーギュスタン＝ルイ・コーシーとカール・ワイエルシュトラスの業績により微分積分学に、より強固な基礎理論が与えられた。

19世紀には新たな代数の形態であるブール論理が開発された。この名称はイギリスの数学者ジョージ・ブールに由来する。数が0または1の体系であり、今日の計算機科学において重要な応用を持つ体系である。

また、数学の限界が初めて探求された。ノルウェー人のニールス・アーベルとフランス人のエヴァリスト・ガロアは、五次以上の多項式には代数的な解法が無いことを証明した。他の19世紀の数学者はこの証明を応用して、定規とコンパスのみで任意の角度を三等分できないこと、与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を構成できないこと、与えられた円の面積と等しい正方形を構成することができないことを証明した。古代ギリシャ時代以来、多くの数学者はこれらの問題を解くことを無駄に試みていた。

アーベルとガロアによる様々な多項式解法の研究は、郡論および抽象代数学の関連分野の更なる発展の土台を築いた。20世紀の物理学者と科学者は、郡論を対称性を研究する理想的な手法とみなした。

19世紀の終わりに向かって、ゲオルク・カントールは集合論を確立し、異なる数学分野での共通言語となった。無限集合の導入は数学基礎論における討論を引き起こした。

19世紀には最初の数学の学会の設立が見られた。1865年にロンドン数学会、1872年にフランス数学会、1884年にパレルモ数学会、1883年にエディンバラ数学会、1888年にアメリカ数学会が設立された。

20世紀の前では、世界中のいかなるときも、創造的な数学者はほんのわずかであった。ほとんどの場合、数学者はネイピアのような富裕層か、またはガウスのように裕福な支援者に支持されていた。フーリエのように大学教授で生計を得るものはほとんどいなかった。地位を得ることができなかったニールス・ヘンリック・アーベルは、栄養不良と結核により貧困のもと26歳で世を去った。

20世紀

四色定理を示す図

20世紀に、数学者の職業ははるかに重要となった。毎年、何百もの新しい数学博士号が与えられ、教職と産業の両方で仕事があった。数学の発展は幾何級数的に増加した。あまりにも多くの新たな開発があり、最も意味深い幾つかに言及し概観する。

1900年に、ダフィット・ヒルベルトは国際数学者会議にヒルベルトの23の問題を提示した。この問題は、数学の多くの領域にまたがり、20世紀の数学の多くに対する関心の的となった。今日、10の問題が解決され、7つが部分的に解決され、2つが未解決である。残る4つは解決か未解決かを述べるには厳密でない。

1910年代、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1887年-1920年）は、3,000を超える定理を開発した。これには高度合成数の固有性、整数分割とその漸化解析、擬テータ関数 (Ramanujan theta function) が含まれる。彼はまた、ガンマ関数、モジュラー形式 (Modular form) 、 発散級数 (Divergent series) 、超幾何級数、および素数定理の大きな進展と発見を行った。

1931年に、クルト・ゲーデルは、数理論理学の限界を述べる2つのゲーデルの不完全性定理を発表した。これはダフィット・ヒルベルトの夢である完全で一貫した数学体系を終わらせた。

過去の有名な予想は、より強力な技法に屈した。ウルフガング・ハーケンとケネス・アッペルは、1976年にコンピュータ使用して四色定理を証明した。 アンドリュー・ワイルズは数年にわたる独力の研究で、1995年にフェルマーの最終定理を証明した。空前のサイズと範囲で数学の共同研究が行われた。有限単純群の分類 (Classification of finite simple groups) は1955年から1983年の間に発行された、約100人の執筆による500あまりの雑誌記事で何万ページにもわたる。

数理論理学、位相幾何学、カオス理論、ゲーム理論のような全く新しい数学の分野が、数学的手法で回答できる質問の種類を変化させた。

フランスのニコラ・ブルバキは、偽名「ニコラ・ブルバキ」のもと出版して、すべての数学を厳格に一貫した完全体とすることを試みた。彼らの広範囲な著作は、数学の教育に論争を呼ぶ影響を与えた 。

また、数学の限界の新しい研究が行われた。クルト・ゲーデルは整数を含む数学体系のすべてに、証明が不可能な真の命題があることを証明した。

ポール・コーエンは、ツェルメロ・フレンケルの公理系 (Zermelo–Fraenkel set theory) から連続体仮説の独立性を証明した。

20世紀の終わりまでに、数学は芸術の域にさえ達した。フラクタル幾何は、見たことのない美しい輪郭を形成する。

21世紀

21世紀初期、多くの教育者が新たな貧困層の数学的・科学的無教養に関する心配を述べている。同時に、数学、科学、工学、および科学技術が相互に知識、情報を作りあげ、古代哲学者が夢にも見なかった繁栄をもたらした。

2007年3月中旬に、北米と欧州中の研究者チームがコンピュータネットワークを使用して、E₈ (E₈) （248次元例外型単純リー群）を写像した。このE₈の理解がどのように応用できるかはまだ正確に知られていないが、この発見は現代数学のチームワークとコンピュータ技術双方の大きな業績である。

関連項目

• 算道
• 和算

文献

• Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House 
• Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
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外部リンク

• MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website containing detailed biographies on many historical and contemporary mathematicians, as well as information on famous curves and various topics in the history of mathematics.
• History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography.
• The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century.
• History of Mathematics (Simon Fraser University).
• Mathematics Pages (Jeff Miller). Contains information on the earliest known uses of symbols and terms used in mathematics as well as a collection of postage stamps depicting mathematicians.
• Biographies of Women Mathematicians (Larry Riddle; Agnes Scott College).
• Mathematicians of the African Diaspora (Scott W. Williams; University at Buffalo).
• Fred Rickey's History of Mathematics Page
• A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians (Steven W. Rockey; Cornell University Library).

学会誌

• Convergence, the en:Mathematical Association of America's online Math History Magazine

リンク集・ウェブディレクトリ

• Links to Web Sites on the History of Mathematics (The British Society for the History of Mathematics)
• History of Mathematics Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)
• History/Biography The Math Forum (Drexel University)
• History of Mathematics (Courtright Memorial Library).
• History of Mathematics Web Sites (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
• History of mathematics - DMOZ（英語）
• Historia de las Matemáticas (Universidad de La Laguna)
• História da Matemática (Universidade de Coimbra)
• Using History in Math Class
• Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius)