53平均律

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53平均律(53-equal temperament)とは、1オクターヴを53の等しいステップに分割した音律である。 各ステップは、 ( ) の周波数比率、あるいは 1200/53 ≈ 22.6415 セントである。この音程は時にホルダーのコンマ英語版と呼ばれる。

歴史[編集]

この分割への理論的な関心は古代にさかのぼる。中国の音楽理論家である京房(78BC-37BC)は、53個の完全五度の連鎖 が、31オクターヴ にほぼ等しいことを発見した。彼は6桁の精度で差を算出し とした(京房の六十律[1]

その後、同じ発見が、数学者および音楽理論家であるニコラス・メルカトル (Nicholas Mercator, c. 1620-1687) によってなされ、彼はこの値を として正確に算出し、メルカトルのコンマとして知られている[2]。メルカトルのコンマは、約3.6150セント (≈ 1/332 オクターヴ)という小さな値であるが、53平均律は、そのコンマの1/53倍 (≈ 0.0682 セント ≈ 1/315 シントニックコンマ ≈ 1/344 ピタゴラスコンマ)だけ各々の完全五度を補正し平準化する。したがって、53平均律は、すべての実際上の目的に対してピタゴラス音律の拡張と等価といえる。

メルカトルの後、ウィリアム・ホルダー英語版は、1694年の論文で、53平均律が、長三度を1.4セント以内によく近似することを指摘した。したがって、53平均律はまた、 5限界英語版純正律の音程を高い精度で代表する[3][4]。53平均律のこの性質は、より以前に知られていたかもしれない。アイザック・ニュートンの未出版の手稿は、彼が1664-65年頃すでにそれに気づいていたことを示唆する[5]

スケールダイヤグラム[編集]

Interval (steps) 3 2 4 3 2 3 2 1 2 4 1 4 3 2 3 4 2 3 2 1 2
Interval (cents) 68 45 91 68 45 68 45 23 45 91 23 91 68 45 68 91 45 68 45 23 45
Note name C±0 C-3 D+1 D±0 D-3 E+1 E-1 F+3 E-4 F±0 F-2 G+2 G±0 G-3 A+1 A-1 A-3 B+1 B-1 C+3 B-4 C±0
Note (cents)   0    68  113 204 272 317 385 430 453 498 589 611 702 770 815 883 974 1018 1087 1132 1155 1200
Note (steps) 0 3 5 9 12 14 17 19 20 22 26 27 31 34 36 39 43 45 48 50 51 53

他の音律との比較[編集]

この音律における31段の音程がほとんど正確に純正な完全五度と等しいので、理論上この音律は53音まで拡張されたピタゴラス音律の一形体であると考えられる。したがって(実用上)純正な五度や、純正より広い長三度(純正の5/4に対して約81/64)、また逆に狭い短三度(6/5と比べ32/27)など、ピタゴラス音律と同じ特性を持つ音程が利用できる。

しかしながら、53平均律は非常に純正音程に近い追加の音程を含んでいる。例えば、17段の音程も長三度だが、純正な音程(5/4)よりもわずか1.4セントだけ狭い音程である。53平均律は、5限界純正律の音程をよく近似する。

第7倍音に関連する純正音程の近似はやや劣るが、7:5の三全音で最大の偏差を持ちつつ、依然として一致を見せる。第11倍音に関連する音程の近似はより劣る。

音程名 サイズ (段) サイズ (cents) 純正比 純正 (cents) 偏差
harmonic seventh 43 973.585 7:4 968.826 +4.759
perfect fifth 31 701.887 3:2 701.955 −0.068
Pythagorean tritone[6] 27 611.321 729:512 611.730 −0.409
diatonic tritone 26 588.679 45:32 590.224 −1.544
Pythagorean diminished fifth 26 588.679 1024:729 588.270 +0.409
septimal tritone 26 588.679 7:5 582.512 +6.167
classic tritone 25 566.038 25:18 568.717 −2.680
undecimal tritone 24 543.396 11:8 551.318 −7.922
double diminished fifth 24 543.396 512:375 539.104 +4.292
undecimal augmented fourth 24 543.396 15:11 536.951 +6.445
acute fourth 23 520.755 27:20 519.551 +1.203
perfect fourth 22 498.113 4:3 498.045 +0.068
grave fourth 21 475.472 320:243 476.539 −1.067
septimal narrow fourth 21 475.472 21:16 470.781 +4.691
classic augmented third 20 452.830 125:96 456.986 −4.156
tridecimal augmented third 20 452.830 13:10 454.214 −1.384
septimal major third 19 430.189 9:7 435.084 −4.895
classic diminished fourth 19 430.189 32:25 427.373 +2.816
Pythagorean ditone 18 407.547 81:64 407.820 −0.273
just major third 17 384.906 5:4 386.314 −1.408
grave major third 16 362.264 100:81 364.807 −2.543
neutral third, tridecimal 16 362.264 16:13 359.472 +2.792
neutral third, undecimal 15 339.623 11:9 347.408 −7.785
acute minor third 15 339.623 243:200 337.148 +2.475
just minor third 14 316.981 6:5 315.641 +1.340
Pythagorean semiditone 13 294.340 32:27 294.135 +0.205
classic augmented second 12 271.698 75:64 274.582 −2.884
septimal minor third 12 271.698 7:6 266.871 +4.827
classic diminished third 11 249.057 144:125 244.969 +4.088
septimal whole tone 10 226.415 8:7 231.174 −4.759
diminished third 10 226.415 256:225 223.463 +2.953
whole tone, major tone 9 203.774 9:8 203.910 −0.136
whole tone, minor tone 8 181.132 10:9 182.404 −1.272
neutral second, greater undecimal 7 158.491 11:10 165.004 −6.514
neutral second, grave whole tone 7 158.491 800:729 160.897 −2.407
neutral second, lesser undecimal 7 158.491 12:11 150.637 +7.854
neutral second, tridecimal 6 135.849 13:12 138.573 −2.724
neutral second, large limma 6 135.849 27:25 133.238 +2.611
Pythagorean chromatic semitone 5 113.208 2187:2048 113.685 −0.477
just diatonic semitone 5 113.208 16:15 111.731 +1.476
major limma 4 90.566 135:128 92.179 −1.613
Pythagorean diatonic semitone 4 90.566 256:243 90.225 +0.341
just chromatic semitone 3 67.925 25:24 70.672 −2.748
just diesis 2 45.283 128:125 41.059 +4.224
syntonic comma 1 22.642 81:80 21.506 +1.135

53平均律は、ディエシス (128:125)、7限界のコンマ (64:63)、シントニックコンマ (81:80)を含む音程を緩和していない。

53平均律は、32805:32768(スキスマ、純正5度8個と純正長3度1個を重ねた音程と5オクターヴの差分)、15625:15552(クライスマ英語版、純正短3度を6個重ねた音程と3:1の音程の差分)、および、225:224(7限界のクライスマ)、325:324(10:9の小全音の2倍と16:13の中立3度の差分)の周波数比を緩和する。

参考文献[編集]

  1. ^ McClain, Ernest and Ming Shui Hung. Chinese Cyclic Tunings in Late Antiquity, Ethnomusicology Vol. 23 No. 2, 1979. pp. 205–224.
  2. ^ Monzo, Joe (2005). "Mercator's Comma", Tonalsoft.
  3. ^ Holder, William, Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony, facsimile of the 1694 London edition, Broude Brothers, 1967
  4. ^ Stanley, Jerome, William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory, The Edwin Mellen Press, 2002
  5. ^ Barbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.
  6. ^ "List of intervals", Huygens-Fokker Foundation.

関連項目[編集]