有限単純群の分類

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有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらのは、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年に渡り出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ゴーレンシュタイン英語版 (d.1992) とライアン英語版ソロモン英語版らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。[1]

分類定理の主張[編集]

分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群(また他の数学的対象に対するそれらの作用)の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタイン英語版は有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群英語版の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

分類定理の概観[編集]

Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数英語版および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

小さな階数2の群[編集]

成分型の群[編集]

標数2型の群[編集]

単純群の存在と一意性[編集]

証明の歴史[編集]

ゴーレンシュタインの問題[編集]

証明のタイムライン[編集]

以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。 年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。[2]

出版年
1832 ガロア正規部分群を導入し、An (n ≥ 5)PSL2 (Fp) (p ≥ 5)単純群であることを発見する。
1854 ケイリー抽象群を定義する。
1861 マシュー英語版が最初の2つのマシュー群英語版 M11M12 を発見し、また M24 の存在も報告している。
1870 ジョルダンが幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。
1872 シローシローの定理を証明した。
1873 マシューが更に3つのマシュー群 M22, M23, M24 を導入した。
1892 オットー・ヘルダーが、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの(互いに異なるとは限らない)素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。
1893 コールが位数660までの単純群を分類する。
1896 フロベニウスバーンサイド英語版が有限群の標数理論の研究を開始した。
1899 バーンサイドが、全ての対合中心化群が非自明な基本アーベル2-群であるような単純群の分類を行った。
1901 フロベニウスが、フロベニウス群英語版がフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。
1901 ディクソンが、任意の有限体上の古典群英語版および、標数が奇数の体上のG2型の例外群を定義した。
1901 ディクソンが E6 型の例外有限単純群を導入した。
1904 バーンサイドが指標理論を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるというバーンサイドの定理英語版を証明した。
1905 ディクソンが偶数標数の体上のG2型の単純群を導入した。
1911 バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。
1928 ホール英語版が、可解群のホール部分群の存在を証明した。
1933 ホールがp-群の研究を開始した。
1935 ブラウアー英語版モジュラー指標の研究を開始した。
1936 ザッセンハウス英語版が有限強3重可移置換群を分類した。
1938 フィッティング英語版フィッティング部分群英語版を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。
1942 ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。
1954 ブラウアーが GL2 (Fq) を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。
1955 ブラウアー・ファウラーの定理英語版が与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。
1955 シュヴァレーシュヴァレー群英語版を導入し、F4, E7, E8 型の例外単純群を与えた。
1956 ホール・ヒグマンの定理英語版
1957 鈴木通夫が、奇数位数の全ての有限単純CA群英語版巡回的であることを示した。
1958 ブラウアー・鈴木・ウォールの定理英語版がランク1の射影特殊線型群を特徴付け、単純CA群の分類を行う。
1959 スタインバーグ英語版スタインバーグ群英語版を導入し、3D4, 2E6 型の新しい有限単純群を与えた(後者はジャック・ティッツ英語版によっても独立に発見されている)。
1959 一般四元数群をシロー2部分群にもつ群についてのブラウアー・鈴木の定理英語版が、これらの群のいずれも単純ではないことを示した。
1960 トンプソンが、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が巾零であることを証明した。
1960 ファイト英語版とホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純CN群英語版が巡回的であることを示した。
1960 鈴木が鈴木群英語版を導入した、これは B2 型を持つ。
1961 李林學英語版李群英語版を導入した、これは 2F4, 2G2 型を持つ。
1963 ファイトとトンプソンがファイト・トンプソンの定理(奇数位数定理)英語版を証明した。
1964 ティッツがリー型の群についてBN対を導入し、ティッツ群英語版を発見した。
1965 ゴーレンシュタイン・ウォルターの定理英語版により2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。
1966 グラウバーマン英語版Z*定理英語版を証明する。
1966 ヤンコ英語版ヤンコ群 J1英語版を導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。
1968 グラウバーマンがZJ定理英語版を証明する。
1968 ヒグマン英語版シムス英語版ヒグマン・シムス群英語版を導入する。
1968 コンウェイコンウェイ群英語版を導入する。
1969 ウォルターの定理英語版により、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。
1969 散在型鈴木群英語版ヤンコ群 J2英語版同J3英語版マクラハン群英語版ヘルド群英語版が導入された。
1969 ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、信号関手英語版を導入する。
1970 MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。(後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと原田耕一郎英語版により分類される)
1970 ヘルムート・ベンダードイツ語版一般化フィッティング部分群英語版を導入する。
1970 アルペリン・ブラウアー・ゴーレンシュタインの定理英語版により、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。
1971 フィッシャー英語版フィッシャー群英語版を導入する。
1971 トンプソンが2次対 ?英語版を導入する。
1971 ベンダーが強く埋め込まれた部分群英語版をもつ群を分類する。
1972 ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。
1972 ライアン英語版ライアン群英語版を導入する。
1973 ラドヴァリス英語版ラドヴァリス群英語版を導入する。
1973 フィッシャーがベビーモンスター群英語版を発見する(未出版)。これはフィッシャーとグライス英語版モンスター群を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンをトンプソン散在群英語版へと、そしてノートン英語版原田・ノートン群英語版へと(ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた)導いた。
1974 トンプソンがN群英語版(可解な局所部分群をもつ群)を分類する。
1974 ゴーレンシュタイン・原田の定理英語版により、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。
1974 ティッツが、最低でもランク3のBN対をもつ群がリー型の群であることを示す。
1974 アシュバッハーが proper 2-generated core をもつ群を分類した。
1975 ゴーレンシュタインとウォルターが L-balance theorem を証明する。
1976 グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。
1976 アシュバッハーが component theorem を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。
1976 オナン英語版オナン群英語版を導入する。
1976 ヤンコがヤンコ群 J4英語版を導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。
1977 アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼の古典対合定理英語版を基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。
1978 TimmesfeldO2 extra-special 定理を証明した。このことで、GF(2) 型の群英語版の分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。
1978 アシュバッハーが薄い群英語版、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。
1981 ボンビエリ消去定理英語版を用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。
1982 Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。
1982 グライスが手作業によりモンスター群を構成した。
1983 ギルマン・グライスの定理英語版により、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、3分法定理英語版の3つのケースのどれか一つに分類される。
1983 アシュバッハーが uniqueness case の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。uniqueness case とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、
1983 ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。

このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された:すなわち、uniqueness caseGF(2) 型の群・標準成分をもつ群である。

1983 ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし準薄英語版ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
1994 ゴーレンシュタイン、ライアン、ソロモン英語版が、改訂された分類の出版を開始した。
2004 アシュバッハーとスミスドイツ語版が準薄群(すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群)について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。
2008 原田とソロモンがマシュー群 M22英語版 をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは M22シューア乗数英語版についての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。
2012 ジョルジュ・ゴンティエ英語版とその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。[3]

第2世代の分類[編集]

何故この証明はこんなにも長いのか?[編集]

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

  • 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである:すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
  • アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
  • 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

分類の結論[編集]

この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

脚注[編集]

  1. ^ オーンズ 2015.
  2. ^ よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。
  3. ^ Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq”. Msr-inria.inria.fr (2012年9月20日). 2012年9月25日閲覧。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]