特殊ユニタリ群

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群論
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群論

n次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group)SU(n) とは、行列式が1のn次ユニタリ行列の為すの事である。群の演算行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n,C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用ワインバーグ=サラム理論強い相互作用量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型大統一理論などに出てくる。

定義[編集]

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質[編集]

特殊ユニタリ群 SU(n) は

生成子[編集]

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列表現される。

基本表現[編集]

基本表現、或いは定義表現では、n次正方行列で表現される。

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、dは全ての添え字に関して対称である。

従って、

規格化条件として

をとる。

随伴表現[編集]

随伴表現、或いはアジョイント表現では、n2-1 次正方行列で表現され、その成分は、

で与えられる。

SU(2)[編集]

SU(2) の元の一般形は

となる。ここで、 を満たす。

SU(3)[編集]

の生成子 T の基本表現は

ここで、ゲル-マン行列である。

交換関係は

となり、構造定数 f は

となる。d は

となる。

他の群との関係[編集]

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E6,E7,G2: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

関連項目[編集]