シローの定理

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群論において、シローの定理Sylow theorems)は、有限群の構造に関する定理である。シローの定理により、有限群の位数から部分群の存在などの情報が得られる。

シロー p-部分群[編集]

p素数とする。位数が、pべき乗であるような群をp-群といい、p-群であるような部分群をp-部分群という。特に位数が最大のp-部分群のことをシロー p-部分群という。シロー p-部分群の集合をSylp(G)と書くこともある。

群Gの位数が|G|=p^ar (ただし、rはpで割りきれない)とすれば、シロー p-部分群の位数はp^aである。

シローの定理[編集]

シローの定理は、ルートヴィヒ・シローが、1872年発表した[1]

有限群Gの位数が、p で割り切れるとき、Gの位数は(pn · s)とかける。ただしここで、n は、正の整数、sp は互いに素。

定理1
位数 pn のシロー p-部分群が存在する。
定理2
全てのシロー p-部分群は共役である。つまり、HK がシロー p-部分群ならば、g−1Hg = K を満たす g が存在する。
定理3
シロー p-部分群の数、すなわち|Sylp(G)|を、np とするとき
  • np は、 s を割り切る。
  • np ≡ 1 (mod p).
  • np = |G : NG(P)|である。ここでPGの任意のシローp-部分群であり、NG正規化群を表す。
定理4
位数がpのべき乗であるGの部分群は、あるシロー p-部分群に含まれる。

結果[編集]

シローの定理より、ある素数pに対して、すべてのシローp-部分群は同じ位数pnを持つ。逆に、もしある部分群の位数がpnであれば、それはシローp-部分群であり、従って他のすべてのシローp-部分群と同型である。極大性の条件より、HGの(シローp-部分群とは限らない)p-部分群とすれば、Hはある位数pnp-部分群の部分群である。

定理3による非常に重要な結果として、np = 1という条件は、「Gのシローp-部分群は正規部分群である」という条件と同値であるというものがある。(S4(4次の対称群)のように、正規部分群は持つが、正規なシローp-部分群を持たない群も存在する。)

無限群についてのシローの定理[編集]

無限群に対しても、有限群の場合と同様にシローの定理の類似を考えることができる。無限群Gのシローp-部分群を、Gのすべてのp-部分群の中で包含関係について極大である(ほかのどのp-部分群にも含まれない)p-部分群と定義する。ツォルンの補題により、このような部分群は必ず存在する(ただし唯一であるとは限らない)。

定理: KGのシローp-部分群であり、np = |Cl(K)|が有限である場合、すべてのシローp-部分群はKと共役であり、np ≡ 1 mod pである(ここでCl(K)はKと共役な部分群の集合)。

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D3(二面体群)ではすべての鏡映は互いに共役であり、それぞれの鏡映はひとつのシロー2-部分群に対応している。
D6においては鏡映はシロー2-部分群に対応せず、2種類の共役類に分類される。

シロー部分群とシローの定理の簡単な実例はn角形の二面体群Dnである。nが奇数の場合、2=21が位数2nを割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群がn種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、nが偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、π/nラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。

適用例[編集]

巡回群の位数[編集]

ある正の整数nについて、位数nのすべての群は巡回群である。シローの定理を用いることで、n=15がそのような数であることがわかる。ここで n3 | 5 かつ n3 ≡ 1 (mod 3)である。これを満たす唯一のn3は1である。つまり、位数3の部分群はただ1つ存在し、よって正規部分群である(別の共役が存在しないため)。同様に、n5 | 3 かつ n5 ≡ 1 (mod 5)であるため、位数5の部分群は正規部分群となる。3と5は互いに素であるため、これら2つの群の共通部分は自明な群であり、よってGは位数3の群と位数5の群の内部直積であるため、位数15の巡回群である。したがって、位数15の群は同型を除いてただ一つである。

位数の小さな群が単純群ではないこと[編集]

もっと複雑な例は巡回群ではない最小の単純群の位数に関係する例である。バーンサイドの定理英語版より、ある群の位数が二つの素数の積であれば、その群は可解群であり、特に単純群ではない。これにより位数30(= 2 · 3 · 5)未満の巡回群でないすべての群は単純群でないことが示される。

もし G が位数30の単純群であれば、n3は10( = 2 · 5)を割り切り、n3 ≡ 1 (mod 3)が成り立つ。よって n3=1,10であり、Gが単純群なのでn3=1とはならないため、n3=10である。よってGは互いに異なる10種類の位数3の部分群を持ち、それぞれの部分群は位数3の元を2個持つ。つまりGは位数3の元を少なくとも20個持つ。同様に、n5は6を割り切り、n5≡1 (mod 5)であるため、n5=6である。よってGは位数5の元を少なくとも24( = 4 · 6)個持つ。しかしGの位数は30しかないので、矛盾が生じた。よって位数30の単純群は存在しない。

次に|G| = 42 = 2 · 3 · 7の場合を考える。n7は6を割り切り、n7≡1 (mod 7)であるため、n7=1である。よってシロー7-部分群はGの正規部分群であり、Gは単純群ではない。

一方で、|G| = 60 = 22 · 3 · 5の場合は、n3 = 10 と n5 = 6となることがあり得る。実際に、巡回群でない最小の単純群は5個の元の交代群 A5である。位数は60であり、位数5の巡回置換を24個、位数3の巡回置換を20個持つ。


脚注[編集]

  1. ^ Sylow, L. (1872), “Théorèmes sur les groupes de substitutions” (French), Math. Ann. 5 (4): 584–594, doi:10.1007/BF01442913, JFM 04.0056.02, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002242052 

関連項目[編集]