特殊線型群

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群論
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群論

数学において、 F 上の次数n特殊線型群(とくしゅせんけいぐん、: special linear group)とは、 行列式が1であるn正方行列のなす集合に、通常の行列の積逆行列の演算が入ったである。この群は、行列式

\det\colon \operatorname{GL}(n, F) \to F^\times

として得られる、一般線型群GL(n, F)の正規部分群である。 ここでF ×F乗法群(つまり、 F から0を除いた集合)を表す。

特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である。(行列式は多項式であることに注意。)

幾何学的解釈[編集]

特殊線型群 SL(n, R)は、体積向きを保つRnにおける線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。

リー部分群[編集]

FR(実数体) 、または C(複素数体)であるときには, SL(n, F)はGL(n, F)の(n2 - 1)次元のリー部分群である。 SL(n, F)のリー代数 \mathfrak{sl}(n, F) は、トレースが0であるF上のn次正方行列からなる。リー括弧積は、交換子積によって与えられる。

位相[編集]

すべての正則行列はユニタリ行列正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。 ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、 特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。 よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が1の正定値エルミート行列の積で書ける。

よって群SL(n, C)の位相は特殊ユニタリ群SU(n)と行列式が1の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。 行列式が1の正定値エルミート行列はトレース0のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は(n2 - 1)次元のユークリッド空間と同じである。

また群SL(n, R)の位相は特殊直交群SO(n)と行列式が1の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。 行列式が1の正定値対称行列はトレースが0の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は(n + 2)(n - 1)次元のユークリッド空間と同じである。

SL(n, C)は、特殊ユニタリ群SU(n)のように、単連結である一方 SL(n, R)は、特殊直交群SO(n)のように、単連結ではない。 SL(n, R)GL+(n, R)あるいはSO(n)と同じ基本群を持つ。 つまりn = 1, 2のときはZn > 2のときはZ2である。