特殊線型群

数学において、体 $F$ 上の次数 $n$ の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、英: special linear group）とは、行列式が $1$ である $n$ 次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式

\det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }

の核として得られる、一般線型群 $GL(n, F)$ の正規部分群である。ここで $F \times$ は $F$ の乗法群（つまり、 $F$ から $0$ を除いた集合）を表す。

特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である（行列式は多項式であることに注意）。

幾何学的解釈[編集]

特殊線型群 $SL(n, R)$ は、体積と向きを保つ $R n$ における線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。

リー部分群[編集]

$F$ が $R$ (実数体)、または $C$ (複素数体) であるときには、 $SL(n, F)$ は $GL(n, F)$ の $(n 2 - 1)$ 次元のリー部分群である。 $SL(n, F)$ のリー代数 ${\mathfrak {sl}}(n,F)$ は、トレースが $0$ である $F$ 上の $n$ 次正方行列からなる。リー括弧積は、交換子積によって与えられる。

位相[編集]

すべての正則行列はユニタリ行列と正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が $1$ の正定値エルミート行列の積で書ける。

よって群 $SL(n, C)$ の位相は特殊ユニタリ群 $SU(n)$ と行列式が $1$ の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。行列式が $1$ の正定値エルミート行列はトレース $0$ のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は $(n 2 - 1)$ 次元のユークリッド空間と同じである。

また群 $SL(n, R)$ の位相は特殊直交群 $SO(n)$ と行列式が $1$ の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。行列式が $1$ の正定値対称行列はトレースが $0$ の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は $(n + 2)(n - 1)$ 次元のユークリッド空間と同じである。

群 $SL(n, C)$ は、特殊ユニタリ群 $SU(n)$ のように、単連結である一方 $SL(n, R)$ は、特殊直交群 $SO(n)$ のように、単連結ではない。 $SL(n, R)$ は $GL + (n, R)$ あるいは $SO(n)$ と同じ基本群を持つ。つまり $n = 1, 2$ のときは $Z$ で $n > 2$ のときは $Z 2$ である。

幾何学的解釈[編集]

リー部分群[編集]

位相[編集]

関連項目[編集]