乗法群

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数学群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する:

1 の冪根の群スキーム[編集]

1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム英語版と考えて乗法群 GL(1) への n ベキ写像の核である。つまり、任意の整数 n > 1 に対して、単位元として働く射 e とともに、n 乗をとる乗法群の射を考えそのスキーム論の意味で適切なファイバー積をとることができる。

得られる群スキームは μn と書かれる。体 K 上とったときそれが被約スキーム英語版を生じることと K標数n を割らないことは同値である。これによってそれは非被約スキーム(構造層冪零元があるスキーム)のいくつかの重要な例の源となる。例えば任意の素数 p に対して p 個の元からなる有限体上の μp

この現象は代数幾何学の古典的な言葉で容易には表現されない。例えば標数 pアーベル多様体の双対理論英語版Pierre Cartier の理論)を表現するのにそれはかなり重要であることがわかる。この群スキームのガロワコホモロジーはクンマー理論を表現する方法である。

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  • n を法とする整数の乗法群英語版は群 の可逆元が乗法についてなす群である。n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。

脚注[編集]

  1. ^ See Hazewinkel et al. (2004), p. 2.

参考文献[編集]

関連項目[編集]