ポアンカレ群

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群論
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群論

ポアンカレ群(ポアンカレぐん、英語: Poincaré group)とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。

ポアンカレ変換[編集]

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進ローレンツ変換からなる。

座標変換[編集]

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進
x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +a^\mu
ローレンツ変換
x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

生成子[編集]

並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数スカラー場)φ(x) を考えると

i[P_\mu, \phi(x)] = \partial_\mu\phi(x)

i[M_{\mu\nu}, \phi(x)] = x_\mu\partial_\nu\phi(x) -x_\nu\partial_\mu\phi(x)

となる。

ポアンカレ代数[編集]

ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

[P_\mu, P_\nu] =0

[M_{\mu\nu}, P_\rho]
 =i(\eta_{\mu\rho}P_\nu -\eta_{\nu\rho}P_\mu)

[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}]
 =i(\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} -\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma}
 -\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} +\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

関連項目[編集]