二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

（pは素数）

例[編集]

二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り^[1] オンライン整数列大辞典の数列 A077586:

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

二重メルセンヌ素数[編集]

二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 M_p は p が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 $M_{M_{p}}$ は M_p それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。M_p が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のとき $M_{M_{p}}$ は素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの $M_{M_{p}}$ の陽因数が見つかっている。

$p$	$M_{p}=2^{p}-1$	$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$	$M_{M_{p}}$ の素因数分解
2	3	素数	7
3	7	素数	127
5	31	素数	2147483647
7	127	素数	170141183460469231731687303715884105727
11	素数ではない	素数ではない	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13	8191	素数ではない	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17	131071	素数ではない	231733529 × 64296354767 × ...
19	524287	素数ではない	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23	素数ではない	素数ではない	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29	素数ではない	素数ではない	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31	2147483647	素数ではない	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37	素数ではない	素数ではない
41	素数ではない	素数ではない
43	素数ではない	素数ではない
47	素数ではない	素数ではない
53	素数ではない	素数ではない
59	素数ではない	素数ではない
61	2305843009213693951	不明	（4×10³³より小さい素因数はない）

次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、 $M_{M_{61}}$ = 2^{2305843009213693951} − 1である。この数はおよそ1.695×10^{694127911065419641}であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×10³³より小さい素因数はない^[2]。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている^[1]^[3]。

$M_{M_{p}}$ （pはn番目の素数）の素因数は以下の通り

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×10³³より大きい）オンライン整数列大辞典の数列 A263686

カタラン・メルセンヌ数予想[編集]

$M_{p}$ の代わりに $M(p)$ と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... オンライン整数列大辞典の数列 A007013

これをカタラン・メルセンヌ数という^[4]。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた^[1]^[5]。カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（M₁₂₇未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、M_M₁₂₇ が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでM_M₁₂₇ を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはM_M₁₂₇ の因数であるため、その素数性を反証できる。M_M₁₂₇ はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M₁₂₇+1の形でなければならない）。

脚注[編集]

^ ^a ^b ^c Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
^ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(2⁶¹ − 1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.
^ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
^ Weisstein, Eric W. "Double Mersenne number". mathworld.wolfram.com (英語).
^ “Questions proposées”. Nouvelle correspondance mathématique 2: 94–96. (1876). (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:

外部リンク[編集]

Weisstein, Eric W. "Double Mersenne Number". mathworld.wolfram.com (英語).
Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
Status of the factorization of double Mersenne numbers
Double Mersennes Prime Search
Operazione Doppi Mersennes

[Caldwell-1] Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.

[2] Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(2⁶¹ − 1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.

[3] I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]

[4] Weisstein, Eric W. "Double Mersenne number". mathworld.wolfram.com (英語).

[5] “Questions proposées”. Nouvelle correspondance mathématique 2: 94–96. (1876). (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:

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[2]

[3]

[4]

[5]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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