擬似完全数

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擬似完全数(ぎじかんぜんすう、: semiperfect number)は、自然数のうち自身を除くいくつかの約数の和が元の数に等しい数のことである。例えば40の約数の内 1,4,5,10,20 を選ぶと、それらの和は 1+4+5+10+20=40 と元の数に等しくなるので擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、その内最小のものは6である。

擬似完全数を6から小さい順に列記すると

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(オンライン整数列大辞典の数列 A005835

奇数の擬似完全数のうち最も小さい数は945である。擬似完全数の倍数は全て擬似完全数であり、したがって偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在する。

nを自然数、pを p<2n+1 を満たす素数として 2np で表される数は全て擬似完全数である。

擬似完全数は全て完全数もしくは過剰数であり、特に全ての完全数は擬似完全数でもある。しかし過剰数であっても擬似完全数でない数はいくつか存在し、それらは不思議数とよばれる。

原始擬似完全数[編集]

擬似完全数の内、その約数に他の擬似完全数を含まない数を原始擬似完全数primitive semiperfect number)という。原始擬似完全数は無数に存在し、その内最小の数は6である。原始擬似完全数を6から小さい順に列記すると

6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184, … (オンライン整数列大辞典の数列 A006036

奇数の原始擬似完全数は無数に存在し、調和数でない原始擬似完全数も無数に存在する。

関連項目[編集]