五胞体数

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n=5のときの五胞体数である70個の。最初の5つの三角錐数に等しい個数の球を順番に「3次元的な段」として重ねたものである

五胞体数(ごほうたいすう、: pentatope number)は、点を右図のように五胞体の形に並べたとき、そこに含まれる点の総数にあたる自然数である。三角錐数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例:15(=1+4+10)、70(=1+4+10+20+35)

n番目の五胞体数 Pn は1からn番目までの三角錐数 n(n+1)(n+2)/6 までの和に等しいので

 \begin{align} P_n &= \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} \end{align}

また組み合わせの記号を用いると P_n = {}_{n+3}{\rm C}_{4} となる。

五胞体数を小さい順に列記すると

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, …(オンライン整数列大辞典の数列 A332

3つの連続する五胞体数のうち2つは五角数である。なぜなら3n-2番目の五胞体数は (3n2-n)/2 番目の五角数であり、3n-1番目の五胞体数は (3n2+n)/2 番目の五角数だからである。

パスカルの三角形では左から5列目の数が五胞体数にあたる。

五胞体数の逆数総和

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}} = \frac{4}{3}

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