中心つき六角数

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37 は中心つき六角数のひとつ
六角形のマスを用いる変則チェスの一種。マス目の個数は、6番目の中心つき六角数である91個。

中心つき六角数(ちゅうしんつきろっかくすう、: centered hexagonal number)あるいはヘックス数 (hex number) とは、中心つき多角数の一種で、中心の一点を囲むように正六角形の形に点を並べたときの点の個数の総称である。小さい順に

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, …(オンライン整数列大辞典の数列 A3215

である。単に「六角数」と呼ばれることもあるが、古代ギリシアで研究対象とされた多角数の一種である六角数と区別する必要がある。

n 番目の中心つき六角数を Hn とすると、H1 = 1 で漸化式

H_{n+1}=H_n+6n\,

を満たすから、一般項は

H_n=6\Delta_{n-1}+1=3n^2-3n+1\,

である。ここに、Δnn 番目の三角数である。中心つき六角数の母関数

\frac{x^2+4x+1}{(1-x)^3}=1+7x+19x^2+37x^3+\cdots

で与えられる。

n 番目までの中心つき六角数の和は立方数となる。すなわち

\sum_{k=1}^n H_k=n^3

が成り立つ。これは

H_n=n^3-(n-1)^3\,

より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数のグノモンである。

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