多角数

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多角数(たかくすう、: polygonal number)は、正多角形の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。多角形数ともいう。

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例えば10個の点は

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このように正三角形の形に並べることができるので10は三角数である。また16個の点は

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このように正方形の形に並べることができ、16は四角数(平方数)である。

三角数、四角数、六角数の例を以下に示す。

三角数

1 3 6 10
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四角数

1 4 9 16
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六角数

1 6 15 28
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五角数以上では、点を回転対称には並べないことに注意。

一般化[編集]

0番目の多角数は全て、形式的に0とみなすことができる。

n番目のp角数を Pp,n とすると上の図から

P_{p,n+1} - P_{p,n} = (p-2)n + 1\,

となり、したがって Pp,n等差数列の和

\begin{align} P_{p,n} &= \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ (p-2)k+1 \right\}
\\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right]
\\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2}
\\ \end{align}

となる。

この式から、2番目のp角数はpであり、3番目のp角数は 3(p-1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」(p = 2)を考えると、

P_{2,n} = n \,

となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、(矩形に並べられることができないことから)素数である。

性質[編集]

  • 任意の自然数は、p 個の p 角数の和で表せる。これを多角数定理という。
  • 1番目の多角数は1、2番目の p 角数は p である。したがって、2以外の自然数はなんらかの多角数である。
  • 3番目以降(3番目を含む)の多角数は、合成数である。
  • n 番目の p 角数は、n が偶数で p が奇数のときに限り、n の倍数でない。
  • n 番目の p 角数と n + 1 番目の p 角数の差は、(p - 2) n + 1 である。
  • n 番目の p 角数と n 番目の p + 1 角数の差は、p によらず n だけで決まり、n - 1 番目の三角数に等しい。(次の表を縦に読むと等差数列になっている)

多角数表[編集]

名前 一般式 n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
三角数 ½(1n² + 1n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
四角数 ½(2n² + 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
五角数 ½(3n² - 1n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
六角数 ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
七角数 ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
八角数 ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
九角数 ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
十角数 ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
十一角数 ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
十二角数 ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
十三角数 ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
十四角数 ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
十五角数 ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
十六角数 ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
十七角数 ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
十八角数 ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
十九角数 ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
二十角数 ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
二十一角数 ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
二十二角数 ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
二十三角数 ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
二十四角数 ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
二十五角数 ½(23n² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807
二十六角数 ½(24n² - 22n) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
二十七角数 ½(25n² - 23n) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
二十八角数 ½(26n² - 24n) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
二十九角数 ½(27n² - 25n) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
三十角数 ½(28n² - 26n) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

関連項目[編集]

外部リンク[編集]