1+2+3+4+…

1+2+3+4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる級数として以下の式で表される。

$\sum_{n=1}^{\infty} n$

その部分和は 1, 3, 6, 10, 15, 21, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は -1/12 である。これは1913年2月27日付でラマヌジャンがハーディに送った書簡の中に記されていた。

この結果は複素解析や場の量子論、弦理論などに応用されている。

部分和を求める計算

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

このように部分和はいくらでも大きくなる。すなわち正の無限大に発散する。最初の n 項までの和は $\frac{n(n+1)}{2}$ で表され、これは三角数とよばれる。

収束すると考えた場合の計算

$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$　の両辺を r で微分すると

$\sum_{n=0}^\infty nr^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}$　ここで両辺に r = -1 を代入すると

$1-2+3-4+ \cdots =\frac{1}{4}$　を得る。1+2+3+4+…= S とおくと

$\begin{cases} 1-2+3-4+ \cdots -(2n)+ \cdots = \frac{1}{4} \quad \cdots (1) \\ \qquad \!4 \quad \ \,+8+ \cdots \ +(4n)+ \cdots = 4S \ \,\cdots (2) \\ 1+2+3+4+ \cdots +(2n)+ \cdots = S \quad \cdots (3) \end{cases}$

(1)+(2)=(3) であるので右辺どうしを比較して

$\frac{1}{4} + 4S = S$

$S = - \frac{1}{12}$

となる。

本来 $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ は -1 < r < 1 の範囲でしか成り立たないので、この議論は厳密には正しくない。

現代的な解釈

形式的に S はゼータ関数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}$

において s = -1 を代入したものである。この和は s の実部が 1 より大きくなければ収束しないが、ゼータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、ζ(-1) の値も正式に定義される。その値は確かに -1/12 に等しい。 これは以下のゼータ関数の関数等式から導かれる。

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \quad (s \ne 0,1)$

ここでΓはガンマ関数である。これに s = -1 を代入すると以下のようになる。

$\zeta(-1) = 2^{-1}\pi^{-2}\ \sin\left(\frac{- \pi}{2}\right)\ \Gamma(2)\ \zeta(2)$

$\sin\left(\frac{- \pi}{2}\right) = -1$ 、 $\Gamma(2) = (2-1)! = 1 \,$ 、 $\zeta(2) = \frac{{\pi}^2}{6}$ （→バーゼル問題）なので

$\zeta(-1) = 2^{-1}\pi^{-2} (-1) \cdot 1 \cdot \frac{{\pi}^2}{6} = - \frac{1}{12}$

関連項目

• 1-2+3-4+…
• 1+1+1+1+…
• 三角数
• シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
• ゼータ関数