1+1+1+1+…

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1 + 1 + 1 + 1 + · · ·は、発散級数の一つ。数学においては、\sum_{n=1}^{\infin} n^0, \sum_{n=1}^{\infin} 1^n, \sum_{n=1}^{\infin} 1等と表される。

概要と証明[編集]

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·等差数列であり、その極限実数収束しないと考えられている。1nの数列は、公比1の等比数列であるとも考える事が出来る。他の有理数の公比(-1を除く)を持つ等比数列とは異なり、実数や素数pp進数に収束しない。

拡大実数においては、この発散級数の総和が単調写像において境界面なくして増加するため、

\sum_{n=1}^{\infin} 1 = +\infty \,  という式で表現される。

理論物理学の応用におけるn0の総和が発生する所では、ゼータ函数正規化によってしばしば以下のように解釈される。リーマンゼータ関数において、s = 0において以下の数式で表される。

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\,

この2つの定式0において有効でないと与えられたため、1つの定式をリーマンゼータ関数の解析接続の方法を用いなければならない。


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!,

この定式に\Gamma(1) = 1という関数の条件を与えると、


\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left( -\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac{1}{2}
\! となる。

ζ(s)は1つの孤立特異点を持つため、s = 1の条件下におけるζ(s)について、上記の冪級数展開すると以下のようになる。この意味で、

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −12 と表される。

エミリオ・エリザルデ英語版は、この級数の問題を取り組むに当たって、以下の逸話を紹介している。

2人の著名な物理学者である、アンドレイ・スラブノフ英語版と、フランシスコ・ホセ・ユンドゥレイン英語版が、1年に満たない短期間、バルセロナでお互いに違った科目の講義を担当した。そして特筆すべき事に、2人とも講義内で、受講者に対して同じ事をこう話したのだ。「皆が知っているように、1 + 1 + 1 + · · · = −12である。」と。おそらく、「もし貴方がこの事を知らなかったら、それは聴くに値しない事である」事を仄めかしていたのかもしれない。[1]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Elizalde, Emilio (2004). “Cosmology: Techniques and Applications”. Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions 

外部リンク[編集]