五角数

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はじめの5つの五角数の図示

五角数(ごかくすう、pentagonal number)とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例:5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

一般項[編集]

1 5 12 22
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n番目の五角数を Pn とすると、図より

P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2}

で与えられる。五角数を小さいものから順に列記すると

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … (オンライン整数列大辞典の数列 A326

となる。

性質[編集]

n番目の五角数は3n-1番目の三角数1/3に等しい。また 1 から n番目までの五角数の相加平均n番目の三角数に等しい。

五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。

五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。

全ての自然数は高々5つの五角数ので表すことができる。(→多角数定理

五角数の逆数無限和

 \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...

である[1]

脚注[編集]

  1. ^ SIAM, Sum of the Reciprocals of Polygonal Numbers

関連項目[編集]

外部リンク[編集]