1+2+4+8+…

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1 + 2 + 4 + 8 + …無限級数の一つで、数学において、その項は連続する2の冪である。初項1、公比2等比数列として特徴付けられる。実数の級数で、無限大発散する級数として、普通には実数の和を持たないとされる。より広く解釈すると、この級数は ∞ の他の解として、即ち −1に収束するとされる。

概要[編集]

1 + 2 + 4 + 8 + の部分和は、1, 3, 7, 15, …;であり、それゆえ無限に発散する級数である。発散級数の総和法に関する定理では、チェザロ和アーベル和も含めて、その総和は∞になる[1]。しかし、1 + 2 + 4 + 8 + …の和は−1に収束するという、一般的な利用法も少なくとも1つは存在する。これに関連した冪級数

f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots+2^n{}x^n+\cdots = \frac{1}{1-2x}

は、0を中心とする1/2収束半径を持ち、x = 1では収束しない。それにも関わらず、定義された関数fは、複素平面においてx = 1/2の点以外を通過するただ一つの解析接続を持ち、f(x) = 1/(1 − 2x)と同じ方法で与えられる。f(1) = −1となるので、原級数1 + 2 + 4 + 8 + …は総和可能な数(E)として−1に近づき、その級数の和である(E)は-1となる(この定義はゴッドフレイ・ハロルド・ハーディによって、レオンハルト・オイラーの『オイラーの無限級数和』を参考にしてなされた)[2]

殆ど同一の解法(そのうち一つがオイラー自身によって作られた物)は、全ての係数が1の冪級数であると見なす物である。即ち、

1+y+y^2+y^3+\cdots = \frac{1}{1-y} 

の冪級数にy = 2を代入した物である。もちろん、これらの2つの級数はy = 2x置換と関連している。

Eの総和を1 + 2 + 4 + 8 + …の収束値として割り当てる事は、一般的な方法が完全に正規の物ではない事を意味する。しかし、この事は総和法として、安定性線型性を含んだ望ましい性質を持っている。これらの2つの公理は、実際に総和を −1に収束させる。その理由は、公理が以下に挙げる計算法を作るためである。

\begin{array}{rcl}
s & = &\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots) \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2s
\end{array}

有効的に言うと、s = ∞ は、等式s = 1 + 2sの根となる物である(例えば、∞ はリーマン球面上のメビウス変換z → 1 + 2z における2つの不動点のうちの1つである)。もしsに近づく普遍的な数に戻す物としての総和法が知られていたならば、即ち ∞ でなく、簡単に解決されているであろう。等式の両項からs減じた場合、0 = 1 + sという式になり、s = −1となる[3]

上記の計算法は、効率的な冪の計算方法の手順という面を度外視して、−1を導く物と呼ばれるおそれがあるかもしれない。最も有名で直接的な総和法として、基本的な収束値を1つ含み、正の数列の級数に負の値が含まれるべきであるとすることを、不条理だとする物がある。これに近い現象が発散幾何級数1 − 1 + 1 − 1 + · · ·において、整数の級数なのに非整数(分数)の12を持つ事が明らかであるという事で起こる。この例示は、級数に0.111…やもっと知られた0.999…のような循環小数が含まれるという主張を、用いる事に近い危険性を孕む物を描いている。この主張は結論的には、0.111… = 19なので0.999… = 1とすることを含む、これらの収斂級数を何とか認められる物であるが、際限のない総和と考えられることについては注意深く根本的な証明を要求するものである[4]

この級数は、実数即ち2進数とは異なった数の性質を持つ値に収束する物として、捉えることができる。2進数の級数として、持続的な分析により得られる結果として、同じく−1の解に収束する[5]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ ハーディ p.10
  2. ^ ハーディ pp.8, 10
  3. ^ The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy p.19.
  4. ^ Gardiner pp. 93–99; the argument on p.95 for 1 + 2 + 4 + 8 + … is slightly different but has the same spirit.
  5. ^ Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 58. Springer-Verlag. pp. chapter I, exercise 16, p. 20. ISBN 0-387-96017-1. 

参考文献[編集]

発展文書[編集]

  • Barbeau, E.J., and P.J. Leah (May 1976). “Euler's 1760 paper on divergent series”. Historia Mathematica 3 (2): 141–160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6. 
  • Ferraro, Giovanni (2002). “Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730”. Annals of Science 59: 179–199. doi:10.1080/00033790010028179. 
  • Kline, Morris (November 1983). “Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
  • Sandifer, Ed (2006年6月). “Divergent series (PDF)”. How Euler Did It. MAA Online. 2013年8月31日閲覧。
  • Sierpińska, Anna (November 1987). “Humanities students and epistemological obstacles related to limits”. Educational Studies in Mathematics 18 (4): 371–396. doi:10.1007/BF00240986. JSTOR 3482354.