リュカ数

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リュカ数(りゅかすう、Lucas number)とは、フランス数学者エドゥアール・リュカにちなんで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を Ln で表すと

L_0=2,\ L_1=1 \,
L_{n+2}=L_n+L_{n+1} \,

で定義される数列にある項のことである。つまり、初項(最初のリュカ数)を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

最初の50項[編集]

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001(オンライン整数列大辞典の数列 A32

負の番号への拡張[編集]

漸化式 Ln+2 = Ln + Ln+1 を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ n ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。

-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

さらに、一般には L -n = (-1)nLn となる。

数学的性質[編集]

リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 Fn との間に多くの関係式があり、例として

L_n = F_{n-1}+F_{n+1}\,
F_{2n} = L_n F_n\,
F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}\,

などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 Ln/Fn は、n が大きくなるにつれて√5 (2.23606798…) に収束していく。

フィボナッチ数と同様リュカ数も隣接する2項の比 Ln+1/Lnn が大きくなるにつれて黄金比 \frac{1 + \sqrt{5}}{2} (1.61803398…) に近づく。

n 番目のリュカ数は以下の式で表される。

L_n = \varphi^n + (-\varphi)^{-n}

ここで \varphi は黄金比である。

参考文献[編集]

関連項目[編集]