1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

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最初から6項の和を、正方形分割図として描いた物である。

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·無限級数の一つであり、数学においては絶対収束する幾何級数の初歩的な例えとして用いられる。

その総和1と等しくなる。

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac12\left({\frac 12}\right)^n = \frac {\frac12}{1-\frac 12} = 1

直接証明[編集]

他の無限級数と同様、無限に続く以下の式の総和

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots

は、最初のn項の総和

s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}

の、nが無限大に近づくときの極限として定義される。s_n2乗じることにより、有用な関係性が明らかになる。

2s_n = \frac22+\frac24+\frac28+\frac{2}{16}+\cdots+\frac{2}{2^n} = 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = 1+s_n-\frac{1}{2^n}

両辺からs_n減じると次式になる。

s_n = 1-\frac{1}{2^n}

n無限大に近づけると、s_nは1に収束する。

歴史[編集]

この級数は、ゼノンのパラドックスの1つとして表現されていた(二分法の説明に当たる)[1]。 また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表した物だと考えられていた。

関連項目[編集]

脚注[編集]