1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

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最初から6項の和を、正方形分割図として描いた物である。

数学において、級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。

その和は以下のようになる。

\frac12 +\frac14 +\frac18 +\frac{1}{16} +\cdots =\sum_{n=1}^\infty \left( \frac12 \right)^n =\frac{\frac12}{1-\frac 12} =1

直接証明[編集]

他の級数と同様、無限和

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots

は、最初の n 項の和

s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}

の、n が無限に大きくなるときの極限として定義される。sn2乗じることにより、有用な関係性が分かる。

2s_n =\frac22 +\frac24 +\frac28 +\frac{2}{16} +\cdots +\frac{2}{2^n} = 1+\frac12 +\frac14 +\frac18 +\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = 1+s_n -\frac{1}{2^n}

両辺から sn減じると次式になる。

s_n =1-\frac{1}{2^n}

n無限に大きくすると、sn は1に収束する。

歴史[編集]

この級数は、ゼノンのパラドックスの一つの表現として使われた(二分法の説明に当たる)[1]。また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表した物だと考えられていた[2]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Description of Zeno's paradoxes
  2. ^ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.