立方数

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立方数（りっぽうすう、cubic number）とは、ある自然数の三乗（立方）にあたる自然数である。例えば125は5³であるので立方数である。最小の立方数は1であり、小さい順に列記すると

個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで正六面体（立方体）の形を作れることから、「六面数」と呼ばれることもある。例えば216個の点は縦、横、高さの一辺にそれぞれ6個ずつ並べることで正六面体の形を作ることができる。

[編集] 立方数の性質

1からn 番目の立方数 N=n³ までの和は、

$\sum_{k=1}^n k^3=1+8+27+...+N={n^2 (n+1)^2 \over 4}=\left\{ {n (n+1) \over 2} \right\}^2$

となる。つまりn番目の三角数の二乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ。

$\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2$

これは、1からn番目までの立方数の和が、1からnまでの自然数の和の二乗に等しいことを意味している。

1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。

$n^3={\sum_{k=1}^n k^3} - \sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2 \quad n \geqq 2$

立方数の逆数和は収束し、次のように表される。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{2\pi^2}{7} \log 2 + \frac{16}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \log (\sin x) dx$

この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる。

すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される（ウェアリングの問題）。このうち丁度9個使用するものは、23と239だけである。

2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729= 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である。（参考:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン）

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。（→フェルマーの最終定理）

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1と8のみといわれている。

SI接頭辞のk、M、Gなどはそれぞれ 10³, 10⁶, 10⁹ であり、立方数である。