二重平方数

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算術における四乗数(しじょうすう、: biquadratic number; 複平方数[note 1])あるいは二重平方数[1]とは、狭義には別の自然数の四乗(平方の平方)になっているような自然数のことである。

n4 = n3 × n = n × n3 = n2 × n2 = n × n × n × n.

最小の二重平方数は 14 = 1 であり、二重平方数は無数にある。小さい数から順に列記すると

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, … オンライン整数列大辞典の数列 A000583

二重平方数 n4 は (n2)2 と変形されるため全て平方数である。

約数を5つだけ持つ自然数は素数を4乗した二重平方数のみ。

例: 24 の約数は 1(=20), 2(=21), 4(=22), 8(=23), 16(=24) の5つである。

一般に p4 は 1, p, p2, p3, p4 の5つの約数を持つ(pは素数)。

二重平方数の逆数総和\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} である。(→ゼータ関数

また1万1億1兆などの数は 104n = (10n)4 と表されるので全て二重平方数である。

二重平方数の下2桁は 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。 したがって、5で割った余りは必ず0か1になる。

全ての自然数は高々19個の二重平方数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の二重平方数の和として表すことができる。(→ウェアリングの問題

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  1. ^ 別に biquadratic という形容は「複二次」ということを強調するものではない。そもそも接頭辞 quadr- は 4 を意味するので、quadratic は「4つの」「四次の」という意味のはずだが、四辺形の面積としての square (ex quadrem) が「平方」を意味し、それに伴って二次方程式や二次形式などで quadratic が「二次の」という意味で多用されるなかで、「四次の」を意味するために冗長ながら「二回」を意味する接頭辞 bi- を附した biquadratic を使うことになったという事情による (コンウェイ & ガイ 2001)。したがって、和訳語としては単に「四乗」を対応させるのが自然であると思われる。

参考文献[編集]

  1. ^ 上垣渉 『はじめて読む数学の歴史』 ベレ出版、2006年ISBN 978-4860641108

関連項目[編集]

外部リンク[編集]