ナルシシスト数

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ナルシシスト数(ナルシシストすう、: narcissistic number)とは、n桁の自然数であって、その各桁の数のn乗の和が、元の自然数に等しくなるような数をいう。例えば、13 + 53 + 33 = 153 であるから、153 はナルシシスト数である。

定義より明らかに、1桁の自然数は全てナルシシスト数である。2桁のナルシシスト数は存在しない。ハーディは、著書『ある数学者の生涯と弁明』において、3桁のナルシシスト数は、153, 370, 371, 407 のみであることに言及している。ナルシシスト数を小さな方から列挙すると、

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, … (オンライン整数列大辞典の数列 A005188

となる。

ナルシシスト数が有限個しか存在しないことは、簡単に証明できる。n桁の自然数のうち、各桁のn乗和が最大になるのは、10n - 1 に対する n × 9n である。一方、n 桁の自然数のうち、最小のものは 10n-1 である。十分大きな n に対して n × 9n < 10n-1 となる(実際、n > 60 でこの不等式は成り立つ)が、そのような n に対しては、n桁のナルシシスト数は存在しない。

ナルシシスト数は(0を含めないならば)全部で87個存在し、その最大のものは39桁の数

115132219018763992565095597973971522401

である。

十進法に限らず、他の基数においても同様にナルシシスト数を定義できる。

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