過剰数

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過剰数(かじょうすう、: abundant number)は、自然数で、その正の約数総和が元の数の2倍より大きい数のことである。この過剰数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より大きくなるような数」と同値である。例えば20の約数の総和は 1+2+4+5+10+20=42>20×2 であるので20は過剰数である。もしくは「20の自身を除く約数の総和は 1+2+4+5+10=22>20 であるので20は過剰数」と考えてもよい。約数関数では σ(n)>2n を満たすnが過剰数である。 過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小のものは12である。

過剰数を12から小さい順に列記すると

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

奇数の過剰数のうち最も小さい数は945である(σ(945)=1920>945×2)。過剰数もしくは完全数倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数とよばれる。

σ(n)=2n+1 を満たすnは過剰数であり、準完全数とよばれる。このような数は未だに見付かっておらず、もし存在するなら奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの素因子を持つことが分かっている。

自然数のうち過剰数が占める割合は0.2474から0.2480の間であると証明されている。

20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。

20が過剰数なので、その倍数つまり下2桁が 00,20,40,60,80 である数は全て過剰数となる。

関連項目[編集]

  • 完全数-その数自身を除く約数の総和が元の数に等しい数
  • 不足数-その数自身を除く約数の総和が元の数より小さい数
  • 擬似完全数-その数自身を除くいくつかの約数の和が元の数に等しい数
  • 超過剰数