回文数

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回文数(かいぶんすう)とは、14641のように逆から数字を読んでも同じ数になる数である。逆から読んでも同じになる回文から名付けられた。

回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。

回文素数
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
回文平方数
0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』(1001も回文数である)のヒロインの名にちなんでいる。

定義[編集]

任意の整数 n>0 は、b進数(ただし、b≧2)においてk+1桁の数字として以下の式で表すことができる。

n=\sum_{i=0}^ka_ib^i (∀ai < b かつ ak ≠ 0 )

nが回文数になるのは、任意の i に対して ai=ak-i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。

別の方法としては、以下の方法によって再帰的に定義される。

  • 1桁の数は回文数である。
  • 2桁の数は、その数を構成する2つの数が同じ場合回文数である。
  • 3桁以上の場合、最初と最後の数字が等しく、その2つの数字を取り去った数が回文数である場合回文数である。

十進数における回文数[編集]

すべての1桁の数は回文数である。即ち、1桁の回文数は以下の10個である。

2桁の回文数は以下の9個である。

3桁の回文数は90個ある。

4桁の回文数は90個ある。

  • 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

主な回文数の個数[編集]

最大桁数 1桁 2桁 3桁 4桁 5桁 6桁 7桁 8桁 9桁 10桁
総数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
平方数 3 6 13 14 19
素数 4 5 20 113 781 5953
平方数を約数として持たない数 6 12 67 120 675
平方数を約数として持つ数(μ(n)=0) 3 6 41 78 423
素数の平方 2 3 5
偶数個の素数の積(μ(n)=1) 2 6 35 56 324
奇数個の素数の積(μ(n)=-1) 5 7 33 65 352
2つの素数の積 3 7 36 50 269
3つの素数の積 1 4 26 58 295
カーマイケル数 0 0 0 0 0 1以上
約数の和(σ(n))も回文数になる 6 10 47 114 688

10進数以外[編集]

回文数は、十進法以外の記数法でも考えることが可能である。例えば二進数の回文数は

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

となる。メルセンヌ数フェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。

多くの場合、十進数での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進数の16461は、十六進数では404Dとなる。

しかし、複数の記数法において回文数になる数も存在する。例えば十進数における105は、四進数(1221)・八進数(151)・十四進数(77)・二十進数(55)・三十四進数(33)で回文数となる。また、十進数における1991は十六進数(7C7)でも回文数となる。

任意の数字 n は、b進法(ただし、b≧n+1 又は b=n-1)において回文数となる。2≦b≦n-2 であるすべてのb進数において n が回文数にならないとき、n をstrictly non-palindromic number と呼ぶ。

十八進数において、7の累乗のいくつかは回文数になる。

73 =     111
74 =     777
76 =   12321
79 = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、

  • 1, 11, 101, 1001, 10001, …
  • 1, 11, 111, 1111, 11111, …

などは回文数である。

関連項目[編集]