レピュニット

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レピュニット (Repunit) とは全ての桁が 1である自然数のことである。つまり 1, 11, 111, 1111,...である。 Rn = (10n - 1) / 9 の形に表される。repeated unitを省略したものが名前の由来である。

n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...のときに、Rn は素数となる。レピュニットの素数が無限にあるかどうかは知られていない。

目次

[編集] レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[1])。

[編集] 知られているレピュニット素数

現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合もおそらく素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表した[2]。また、2007年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[3]。

Rn = (10n - 1) / 9
No. n 年 発見者
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 ? 1999 Dubner
7 86453 ? 2000 Baxter
8 109297 ? 2007 Dubner
9 270343 ? 2007 Voznyy

[編集] レピュニットの素因数分解

[編集] 基数10 の レピュニットの R1 から R50 までの素因数分解の表

レピュニット 素因数分解 素因数の数(含重複)
R1 1 0
R2
素数
 1
R3 3 · 37 2
R4 11 · 101 2
R5 41 · 271 2
R6 3 · 7 · 11 · 13 · 37 5
R7 239 · 4,649 2
R8 11 · 73 · 101 · 137 4
R9 32 · 37 · 333,667 4
R10 11 · 41 · 271 · 9,091 4
R11 21,649 · 513,239 2
R12 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9,901 7
R13 53 · 79 · 265,371,653 3
R14 11 · 239 · 4,649 · 909,091 4
R15 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2,906,161 6
R16 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5,882,353 6
R17 2,071,723 · 5,363,222,357 2
R18 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52,579 · 333,667 9
R19
素数
 1
R20 11 · 41 · 101 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961 7
R21 3 · 37 · 43 · 239 · 1,933 · 4,649 · 10,838,689 7
R22 112 · 23 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 7
R23
素数
 1
R24 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 99,990,001 10
R25 41 · 271 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001 5
R26 11 · 53 · 79 · 859 · 265,371,653 · 1,058,313,049 6
R27 33 · 37 · 757 · 333,667 · 440,334,654,777,631 7
R28 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4,649 · 909,091 · 121,499,449 8
R29 3,191 · 16,763 · 43,037 · 62,003 · 77,843,839,397 5
R30 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2,161 · 9,091 · 2,906,161 13
R31 2,791 · 6,943,319 · 57,336,415,063,790,604,359 3
R32 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1,409 · 69,857 · 5,882,353 11
R33 3 · 37 · 67 · 21,649 · 513,239 · 1,344,628,210,313,298,373 6
R34 11 · 103 · 4,013 · 2,071,723 · 5,363,222,357 · 21,993,833,369 6
R35 41 · 71 · 239 · 271 · 4,649 · 123,551 · 102,598,800,232,111,471 7
R36 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9,901 · 52,579 · 333,667 · 999,999,000,001 12
R37 2,028,119 · 247,629,013 · 2,212,394,296,770,203,368,013 3
R38 11 · 909,090,909,090,909,091 · R19 3
R39 3 · 37 · 53 · 79 · 265,371,653 · 900,900,900,900,990,990,990,991 6
R40 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961 · 1,676,321 · 5,964,848,081 11
R41 83 · 1,231 · 538,987 · 201,763,709,900,322,803,748,657,942,361 4
R42 3 · 72 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1,933 · 2,689 · 4,649 · 459,691 · 909,091 · 10,838,689 15
R43 173 · 1,527,791 · 1,963,506,722,254,397 · 2,140,992,015,395,526,641 4
R44 112 · 23 · 89 · 101 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 · 1,052,788,969 · 1,056,689,261 11
R45 32 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238,681 · 333,667 · 2,906,161 · 4,185,502,830,133,110,721 10
R46 11 · 47 · 139 · 2,531 · 549,797,184,491,917 · R23 6
R47 35,121,409 · 316,362,908,763,458,525,001,406,154,038,726,382,279 2
R48 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 5,882,353 · 99,990,001 · 9,999,999,900,000,001 13
R49 239 · 4,649 · 505,885,997 · 1,976,730,144,598,190,963,568,023,014,679,333 4
R50 11 · 41 · 251 · 271 · 5,051 · 9,091 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001 · 78,875,943,472,201 10

[編集] 一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは Rn ( a ) = ( a n - 1) / ( a - 1) と定義される。

a =2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは an -1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5 ( 3 )=112, R4 ( 7 )=202, R3 ( 18 )=73 の場合しかない（Bugeaud 1999b[4]）。

Fd ( x ) を d 次の円分多項式とすると、R_n(a)=\prod_{d\mid n, d>1}F_d(a)と表すことができる。

[編集] 参考

  1. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411--417.
  2. ^ アナウンス、Number Theory List
  3. ^ アナウンス、Number Theory List
  4. ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation a\frac{x^n-1}{x-1}=y^q, Number Theory ( Turku, 1999), 19--24, de Gruyter, 2001.

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

"http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88" より作成