レピュニット

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レピュニット (Repunit) とは全ての桁が 1である自然数のことである。つまり 1, 11, 111, 1111,...である。 Rn = (10n - 1) / 9 の形に表される。repeated unitを省略したものが名前の由来である。

n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...のときに、Rn素数となる。レピュニットの素数が無限にあるかどうかは知られていない。

レピュニットの性質[編集]

mn を割り切るならば、RmRn を割り切る。よって、n合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[1])。

知られているレピュニット素数[編集]

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合もおそらく素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表した[2]。また、2007年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[3]

Rn = (10n - 1) / 9
No. n 発見者
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 ? 1999 Dubner
7 86453 ? 2000 Baxter
8 109297 ? 2007 Dubner
9 270343 ? 2007 Voznyy

レピュニットの素因数分解[編集]

基数10 の レピュニットの R1 から R70 までの素因数分解の表[編集]

レピュニット 素因数分解 素因数の数(含重複)
R1 1 0
R2
素数
1
R3 3 · 37 2
R4 11 · 101 2
R5 41 · 271 2
R6 3 · 7 · 11 · 13 · 37 5
R7 239 · 4,649 2
R8 11 · 73 · 101 · 137 4
R9 32 · 37 · 333,667 4
R10 11 · 41 · 271 · 9,091 4
R11 21,649 · 513,239 2
R12 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9,901 7
R13 53 · 79 · 265,371,653 3
R14 11 · 239 · 4,649 · 909,091 4
R15 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2,906,161 6
R16 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5,882,353 6
R17 2,071,723 · 5,363,222,357 2
R18 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52,579 · 333,667 9
R19
素数
1
R20 11 · 41 · 101 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961 7
R21 3 · 37 · 43 · 239 · 1,933 · 4,649 · 10,838,689 7
R22 112 · 23 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 7
R23
素数
1
R24 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 99,990,001 10
R25 41 · 271 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001 5
R26 11 · 53 · 79 · 859 · 265,371,653 · 1,058,313,049 6
R27 33 · 37 · 757 · 333,667 · 440,334,654,777,631 7
R28 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4,649 · 909,091 · 121,499,449 8
R29 3,191 · 16,763 · 43,037 · 62,003 · 77,843,839,397 5
R30 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2,161 · 9,091 · 2,906,161 13
R31 2,791 · 6,943,319 · 57,336,415,063,790,604,359 3
R32 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1,409 · 69,857 · 5,882,353 11
R33 3 · 37 · 67 · 21,649 · 513,239 · 1,344,628,210,313,298,373 6
R34 11 · 103 · 4,013 · 2,071,723 · 5,363,222,357 · 21,993,833,369 6
R35 41 · 71 · 239 · 271 · 4,649 · 123,551 · 102,598,800,232,111,471 7
R36 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9,901 · 52,579 · 333,667 · 999,999,000,001 12
R37 2,028,119 · 247,629,013 · 2,212,394,296,770,203,368,013 3
R38 11 · 909,090,909,090,909,091 · 1,111,111,111,111,111,111 3
R39 3 · 37 · 53 · 79 · 265,371,653 · 900,900,900,900,990,990,990,991 6
R40 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961 · 1,676,321 · 5,964,848,081 11
R41 83 · 1,231 · 538,987 · 201,763,709,900,322,803,748,657,942,361 4
R42 3 · 72 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1,933 · 2,689 · 4,649 · 459,691 · 909,091 · 10,838,689 15
R43 173 · 1,527,791 · 1,963,506,722,254,397 · 2,140,992,015,395,526,641 4
R44 112 · 23 · 89 · 101 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 · 1,052,788,969 · 1,056,689,261 11
R45 32 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238,681 · 333,667 · 2,906,161 · 4,185,502,830,133,110,721 10
R46 11 · 47 · 139 · 2,531 · 549,797,184,491,917 · 11,111,111,111,111,111,111,111 6
R47 35,121,409 · 316,362,908,763,458,525,001,406,154,038,726,382,279 2
R48 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 5,882,353 · 99,990,001 · 9,999,999,900,000,001 13
R49 239 · 4,649 · 505,885,997 · 1,976,730,144,598,190,963,568,023,014,679,333 4
R50 11 · 41 · 251 · 271 · 5,051 · 9,091 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001 · 78,875,943,472,201 10
R51 3 · 37 · 613 · 210,631 · 2,071,723 · 52,986,961 · 5,363,222,357 · 13,168,164,561,429,877 8
R52 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265,371,653 · 1,058,313,049 · 1,900,381,976,777,332,243,781 9
R53 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071 4
R54 33 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52,579 · 333,667 · 70,541,929 · 14,175,966,169 · 440,334,654,777,631 14
R55 41 · 271 · 1,321 · 21,649 · 62,921 · 513,239 · 83,251,631 · 1,300,635,692,678,058,358,830,121 8
R56 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4,649 · 7,841 · 909,091 · 121,499,449 · 127,522,001,020,150,503,761 12
R57 3 · 37 · 21,319 · 10,749,631 · 1,111,111,111,111,111,111 · 3,931,123,022,305,129,377,976,519 6
R58 11 · 59 · 3,191 · 16,763 · 43,037 · 62,003 · 77,843,839,397 · 154,083,204,930,662,557,781,201,849 8
R59 2,559,647,034,361 · 4,340,876,285,657,460,212,144,534,289,928,559,826,755,746,751 2
R60 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2,161 · 3,541 · 9,091 · 9,901 · 27,961 · 2,906,161 · 4,188,901 · 39,526,741 20
R61 733 · 4,637 · 329,401 · 974,293 · 1,360,682,471 · 106,007,173,861,643 · 7,061,709,990,156,159,479 7
R62 11 · 2,791 · 6,943,319 · 57,336,415,063,790,604,359 · 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 5
R63 32 · 37 · 43 · 239 · 1,933 · 4,649 · 10,837 · 23,311 · 45,613 · 333,667 · 10,838,689 · 45,121,231 · 1,921,436,048,294,281 14
R64 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1,409 · 19,841 · 69,857 · 976,193 · 588,2353 · 6,187,457 · 834,427,406,578,561 15
R65 41 · 53 · 79 · 271 · 265,371,653 · 162,503,518,711 · 5,538,396,997,364,024,056,286,510,640,780,600,481 7
R66 3 · 7 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 · 599,144,041 · 183,411,838,171 · 1,344,628,210,313,298,373 15
R67 493,121 · 79,863,595,778,924,342,083 · 28,213,380,943,176,667,001,263,153,660,999,177,245,677 3
R68 11 · 101 · 103 · 4,013 · 2,071,723 · 28,559,389 · 1,491,383,821 · 5,363,222,357 · 21,993,833,369 · 2,324,557,465,671,829 10
R69 3 · 37 · 277 · 203,864,078,068,831 · 11,111,111,111,111,111,111,111 · 1,595,352,086,329,224,644,348,978,893 6
R70 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4,649 · 9,091 · 123,551 · 909,091 · 4,147,571 · 102,598,800,232,111,471 · 265,212,793,249,617,641 12

一般化[編集]

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは Rn ( a ) = ( a n - 1) / ( a - 1) と定義される。

a =2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは an -1約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5 ( 3 )=112, R4 ( 7 )=202, R3 ( 18 )=73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[4])。

Fd ( x ) を d 次の円分多項式とすると、R_n(a)=\prod_{d\mid n, d>1}F_d(a)と表すことができる。

参考[編集]

  1. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411--417.
  2. ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  3. ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  4. ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation a\frac{x^n-1}{x-1}=y^q, Number Theory ( Turku, 1999), 19--24, de Gruyter, 2001.

関連項目[編集]

外部リンク[編集]